【題目】 如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,為等邊三角形,平面平面,,,,
(Ⅰ)設分別為的中點,求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(I)見解析;(II)見解析;(III).
【解析】
(I)連接,結合平行四邊形的性質,以及三角形中位線的性質,得到,利用線面平行的判定定理證得結果;
(II)取棱的中點,連接,依題意,得,結合面面垂直的性質以及線面垂直的性質得到,利用線面垂直的判定定理證得結果;
(III)利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角,放在直角三角形中求得結果.
(I)證明:連接,易知,,
又由,故,
又因為平面,平面,
所以平面.
(II)證明:取棱的中點,連接,依題意,得,
又因為平面平面,平面平面,
所以平面,又平面,故,
又已知,,
所以平面.
(III)解:連接,由(II)中平面,
可知為直線與平面所成的角.
因為為等邊三角形,且為的中點,
所以,又,
在中,,
所以,直線與平面所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(,)
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行最多,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:
年流入量 | |||
發(fā)電機最多可運行臺數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為4000萬元,若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損600萬元,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:
[10.5,14.5) 2 [14.5,18.5) 4 [18.5,22.5) 9 [22.5,26.5) 18
[26.5,30.5) 11 [30.5,34.5) 12 [34.5,38.5) 8 [38.5,42.5) 2
根據(jù)樣本的頻率分布估計,數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內的概率約是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司最近4年對某種產(chǎn)品投入的宣傳費萬元與年銷售量之間的關系如下表所示.
1 | 4 | 9 | 16 | |
168.6 | 236.6 | 304.6 | 372.6 |
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷:與哪一個更適宜作為與的函數(shù)模型?
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤萬元與的關系為,則年宣傳費為多少時年利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,;
(i)求滿足條件的最小正整數(shù)的值.
(ii)求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測兩套設備的生產(chǎn)質量情況,隨機從兩套設備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機抽取了100件產(chǎn)品作為樣本來檢測一項質量指標值,若產(chǎn)品的該項質量指標值落在內,則為合格品,否則為不合格品.表1是甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表,圖是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖.
表甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表
質量指標值 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 10 | 36 | 38 | 12 | 2 |
(1)將頻率視為概率.若乙套設備生產(chǎn)了10000件產(chǎn)品,則其中的合格品約有多少件?
(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關.
甲套設備 | 乙套設備 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
附表及公式:,其中;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】手機廠商推出一款6寸大屏手機,現(xiàn)對500名該手機使用者(200名女性,300名男性)進行調查,對手機進行評分,評分的頻數(shù)分布表如下:
女性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大。ú挥嬎憔唧w值,給出結論即可);
(2)把評分不低于70分的用戶稱為“評分良好用戶”,能否有的把握認為“評分良好用戶”與性別有關?
參考附表:
參考公式,其中
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R).
(Ⅰ)當b=-1時,函數(shù)f(x)恰有兩個不同的零點,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)當b=1時,
①若對于任意x∈[1,3],恒有f(x)≤2x2,求a的取值范圍;
②若a≥2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值g(a).
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