Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上橫坐標為3的點M到焦點F的距離為4．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過拋物線C的焦點F且斜率為1的直線l交拋物線C于A、B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x；（2）8.

【解析】

（1）求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義可得p的方程，求得p，即可得到所求拋物線方程；

（2）求得直線l的方程為y=x-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值．

解：（1）拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F（，0），準線方程為x=-，

∵|MF|=4，由拋物線的定義可得，

∴p=2．故所求拋物線方程為y2=4x；

（2）由（1）得p=2，焦點F（1，0），所以直線l的方程為y=x-1，

并設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立，消去y，得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，

可得x1+x2+p=8，

所以|AB|=8．