【題目】已知函數(shù)在點
處取得極值
.
(1)求的值;
(2)若有極大值
,求
在
上的最小值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】試題分析:(1) 函數(shù)在點
處取得極值
,則
,
,列方程組解出a,b的值即可;(2)對函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,求出函數(shù)的極大值,由極大值
可求出c的值,代回解析式,根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)
在
上的最小值.
試題解析:
(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,
由于f(x)在點x=2處取得極值c-16,
故有,
即化簡得
,
解得a=1,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;
f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
當(dāng)x∈(-∞,-2)時,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-2,2)時,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,
故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).
由此可知f(x)在x1=-2處取得極大值f(-2)=16+c,f(x)在x1=2處取得極小值f(2)=c-16.
由題設(shè)條件知16+c=28得c=12.
此時f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,
f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值為f(2)=-4.
點睛: 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點的關(guān)系:(1)定義域上的可導(dǎo)函數(shù)
在
處取得極值的充要條件是
,并且
在
兩側(cè)異號,若左負(fù)右正為極小值點,若左正右負(fù)為極大值點;(2)函數(shù)
在點
處取得極值時,它在這點的導(dǎo)數(shù)不一定存在,例如函數(shù)
,結(jié)合圖象,知它在
處有極小值,但它在
處的導(dǎo)數(shù)不存在;(3)
既不是函數(shù)
在
處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后一定要注意對極值點進(jìn)行檢驗.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中,角
,
,
所對的邊分別是
,
,
,且點
,
,動點
滿足
(
為常數(shù)且
),動點
的軌跡為曲線
.
(Ⅰ)試求曲線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,過定點
的直線與曲線
交于
,
兩點,
是曲線
上不同于
,
的動點,試求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍,再將所得函數(shù)圖象向右平移
個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)當(dāng)x∈[﹣ ,
]時,求函數(shù)y=f(x+
)﹣
f(x+
)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的短軸長為
,右焦點為
,點
是橢圓
上異于左、右頂點
的一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線
交于點
,線段
的中點為
,證明:點
關(guān)于直線
的對稱點在直線
上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N* .
(1)證明數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)證明不等式Sn+1≤4Sn , 對任意n∈N*皆成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由直角△
和直角梯形
拼接而成的,其中
.且點
為線段
的中點,
,
現(xiàn)將△
沿
進(jìn)行翻折,使得二面角
的大小為
,得到圖形如圖(2)所示,連接
,點
分別在線段
上.
(1)證明: ;
(2)若三棱錐的體積為四棱錐
體積的
,求點
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(Ⅰ)若在
是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)令,若函數(shù)
有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
(1)10231(4)=________(10);
(2)235(7)=________(10);
(3)137(10)=________(6);
(4)1231(5)=________(7);
(5)213(4)=________(3);
(6)1010111(2)=________(4).
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