【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,且長軸長為4.
求橢圓E的方程;
若A是橢圓E的左頂點,經(jīng)過左焦點F的直線l與橢圓E交于C,D兩點,求
與
為坐標原點
的面積之差絕對值的最大值.
已知橢圓E上點
處的切線方程為
,T為切點
若P是直線
上任意一點,從P向橢圓E作切線,切點分別為N,M,求證:直線MN恒過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
由題意可知:
,
,根據(jù)橢圓的性質(zhì):
,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
由題意設(shè)直線方程,
,將直線方程代入橢圓方程,根據(jù)韋達定理求得
,根據(jù)三角形的面積公式
,分類,當
時,
,
時,根據(jù)基本不等式的關(guān)系,即可求得
的最大值為
,
設(shè)點
,切點
,
,由
可知兩切線方程PM,PN的方程,同去利用P點在切線PM,PN上,從而直線MN方程為
,從而問題解決.
由題意得
又
,
,所以
,
.
所以橢圓E的方程為.
設(shè)
的面積為
,
的面積為
.
當直線l斜率不存在時,直線方程為.
據(jù)橢圓對稱性,得,
面積相等,所以
.
當直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,設(shè)
,
聯(lián)立方程組,消由得
,則
.
所以.
又因為,當且僅當
或
時取“
”.
所以的最大值為
.
證明:設(shè)
,
,
由已知得切線切線
,
把代入
得
,
.
從而直線MN方程為,即
.
對,當
,
時恒成立,恒過定點
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 為向國際化大都市目標邁進,沈陽市今年新建三大類重點工程,它們分別是30項基礎(chǔ)設(shè)施類工程,20項民生類工程和10項產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程.現(xiàn)有來沈陽的3名工人相互獨立地從這60個項目中任選一個項目參與建設(shè).
(Ⅰ)求這3人選擇的項目所屬類別互異的概率;
(Ⅱ)將此3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的人數(shù)記為,求
的分布列和數(shù)學期望
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合,其中
,由
中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合:
,
.
其中是有序數(shù)對,集合
和
中的元素個數(shù)分別為
和
.
若對于任意的,總有
,則稱集合
具有性質(zhì)
.
(Ⅰ)檢驗集合與
是否具有性質(zhì)
并對其中具有性質(zhì)
的集合,寫出相應(yīng)的集合
和
.
(Ⅱ)對任何具有性質(zhì)的集合
,證明
.
(Ⅲ)判斷和
的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)點是棱長為2的正方體
的棱
的中點,點
在面
所在的平面內(nèi),若平面
分別與平面
和平面
所成的銳二面角相等,則點
到點
的最短距離是( )
A. B.
C. 1 D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求證:平面
平面
;
(2)設(shè)為
上的一點,滿足
,若直線
與平面
所成角的正切值為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識,汕頭市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的 500 名志愿者中隨機抽取 100 名,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)是:
,
(1)求圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計這 500 名志愿者中年齡在
歲的人數(shù);
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取 10 名參加人民廣場的宣傳活動,再從這 10 名志愿者中選取 3 名擔任主要負責人.記這 3 名志愿者中“年齡低于 35 歲”的人數(shù)為 ,求
的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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