【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線，上分別取點，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.

（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；

（2）若需要進一步擴大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）當(dāng)，兩點距離點都為千米時，最大面積為（平方千米）；

（2）四邊形面積的最大值為（平方千米）.

【解析】

（1）設(shè)，，由余弦定理得：，

因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；

（2）要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.在中，，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出點到距離的最大值即可得到最大面積.

（1）設(shè)，，（單位：千米）

在中，由余弦定理得：，

因為，，，，

所以，，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，

此時，（平方千米）.

所以，當(dāng)，兩點距離點都為千米時，的面積最大，最大面積為（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.

在中，，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），

以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點所在的橢圓方程為，焦距為，

由，得：，

所以點所在的橢圓方程為.

設(shè)，則，因為，

所以（平方千米），當(dāng)且僅當(dāng)（千米）時取得等號.

所以，四邊形面積的最大值為（平方千米）.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；

④當(dāng)x＝2時，函數(shù)y＝f(x)有極小值；

⑤當(dāng)x＝時，函數(shù)y＝f(x)有極大值．

則上述判斷中正確的是(　　)

A. ①② B. ②③

C. ③④⑤ D. ③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點．

（1）求證：的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（2）若實數(shù)滿足：求證：存在，使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（3）給定實數(shù)，若對于任意區(qū)間，是區(qū)間的一內(nèi)點，是區(qū)間的一內(nèi)點，且不等式和不等式對于任意都恒成立，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A.的圖像關(guān)于點對稱B.的圖像關(guān)于直線對稱

C.的最大值為D.是周期函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：

（1）存在實數(shù)使；

（2）直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；

（3）（）的值域是；

（4）若，都是第一象限角，且，則．

其中正確命題的序號為（ ）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求的極坐標(biāo)方程；

（2）將曲線上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線，若與的交點為（異于坐標(biāo)原點），與的交點為，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若存在常數(shù) k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得無窮數(shù)列 {a n }滿足a n +1，則稱數(shù)列{an }為“段差比數(shù)列”，其中常數(shù) k、d、t 分別叫做段長、段差、段比．設(shè)數(shù)列 {bn }為“段差比數(shù)列”．

（1）已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比數(shù)列，求 d 、 t 的值；

（2）已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、3 、3 、1，其前 3n 項和為 S3n ．若不等式 S3n≤ λ 3n1對 n ∈ N *恒成立，求實數(shù) λ 的取值范圍；

（3）是否存在首項為 b，段差為 d（d ≠ 0 ）的“段差比數(shù)列” {bn }，對任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 寫出所有滿足條件的 {bn }的段長 k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t )；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且，，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且其前項和滿足？若存在，請求出的通項公式；若不存在，請說明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，且為“阿當(dāng)數(shù)列”，，，當(dāng)數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”時，試判斷數(shù)列是否為“阿當(dāng)數(shù)列”，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①對任意的恒有成立；②當(dāng)時，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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