在等差數(shù)列中,
,
,記數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)、
,且
,使得
、
、
成等比數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的
、
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2)存在,且
,
.
解析試題分析:(1)將等差數(shù)列中的相應(yīng)式子轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的二元一次方程組,求出首項(xiàng)和公差,最后再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出等差數(shù)列
的通項(xiàng)公式;(2)先將數(shù)列
的通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)選擇裂項(xiàng)求和法求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
,然后根據(jù)條件列式,利用正整數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)列不等式求出
、
的值.
試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/75/e/1aevf4.png" style="vertical-align:middle;" />即 2分
解得 3分
所以.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
. 4分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b3/3/1bl1v2.png" style="vertical-align:middle;" />, 5分
所以數(shù)列的前
項(xiàng)和
. 7分
假設(shè)存在正整數(shù)、
,且
,使得
、
、
成等比數(shù)列,
則. 8分
即. 9分
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/9/1hddq3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d7/c/lxy1f1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/0/6rwc12.png" style="vertical-align:middle;" />,所以. 12分
此時(shí). 13分
所以存在滿足題意的正整數(shù)、
,且只有一組解,即
,
. 14分
考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)求和法,數(shù)列的存在性問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)
,公差
.且
分別是等比數(shù)列
的
.
(1)求數(shù)列與
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)
均有
成立,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列滿足:
,
.
的前n項(xiàng)和為
.
(Ⅰ)求 及
;
(Ⅱ)若 ,
(
),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列、
滿足
.
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且
時(shí),求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)、
都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列
有無(wú)窮多個(gè),而數(shù)列
惟一確定;
(Ⅲ)設(shè),
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足:
,
(Ⅰ) 求證:數(shù)列是等差數(shù)列并求
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列的前六項(xiàng)和為60,且
的等比中項(xiàng).
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(II)若數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和
,數(shù)列{
}滿足
=
.
(I)求證:數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{
}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求滿足
的
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列中,首項(xiàng)a1=1,公差d為整數(shù),且滿足
數(shù)列
滿足
前
項(xiàng)和為
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式an;
(2)若S2為,
的等比中項(xiàng),求正整數(shù)m的值.
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