【題目】已知橢圓:
的左右焦點(diǎn)分別為
、
,左右頂點(diǎn)分別是
、
,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
,
是以原點(diǎn)為圓心,
為半徑的圓的任一條直徑,四邊形
的面積最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線:
與橢圓交于
、
兩點(diǎn),
①若直線與
的斜率分別為
,
,且
,求證:直線
過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
②若直線的斜率是直線
、
斜率的等比中項(xiàng),求
面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由題可得,再由四邊形
的面積最大值為
列方程即可求得
,問(wèn)題得解。
(2)①設(shè),
,聯(lián)立直線與橢圓方程可得:
,即可表示出
,
,再整理
,可得:
,問(wèn)題得解。
②由直線的斜率是直線
、
斜率的等比中項(xiàng)即可求得
,再由弦長(zhǎng)公式求得
,求出點(diǎn)
到直線
的距離
,即可表示
,再利用基本不等式即可得解。
(1)由題可得:,即:
,
當(dāng)與
軸重合時(shí),四邊形
的面積最大值
由已知可得:,解得:
所以橢圓方程為:.
(2)①證明:設(shè),
,
將代入橢圓方程得:
,
,
∴,
,
∵,
∴,
解得:,
∴直線的方程為
,即
,
故直線恒過(guò)定點(diǎn)
;
②由直線的斜率是直線
,
斜率的等比中項(xiàng),
即有,即
,
∴,整理得:
,解得
,
代入有
,
,
點(diǎn)到直線
的距離
,
∴
,
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)
所以面積的取值范圍是:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】司機(jī)在開(kāi)機(jī)動(dòng)車時(shí)使用手機(jī)是違法行為,會(huì)存在嚴(yán)重的安全隱患,危及自己和他人的生命. 為了研究司機(jī)開(kāi)車時(shí)使用手機(jī)的情況,交警部門調(diào)查了名機(jī)動(dòng)車司機(jī),得到以下統(tǒng)計(jì):在
名男性司機(jī)中,開(kāi)車時(shí)使用手機(jī)的有
人,開(kāi)車時(shí)不使用手機(jī)的有
人;在
名女性司機(jī)中,開(kāi)車時(shí)使用手機(jī)的有
人,開(kāi)車時(shí)不使用手機(jī)的有
人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認(rèn)為開(kāi)車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別有關(guān);
開(kāi)車時(shí)使用手機(jī) | 開(kāi)車時(shí)不使用手機(jī) | 合計(jì) | |
男性司機(jī)人數(shù) | |||
女性司機(jī)人數(shù) | |||
合計(jì) |
(2)以上述的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體,現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機(jī)動(dòng)車中隨機(jī)抽檢3輛,記這3輛車中司機(jī)為男性且開(kāi)車時(shí)使用手機(jī)的車輛數(shù)為,若每次抽檢的結(jié)果都相互獨(dú)立,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
參考公式與數(shù)據(jù):
參考數(shù)據(jù):
參考公式
span>,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù);
.
(1)判斷在
上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(2)求的極值;
(3)當(dāng)時(shí),
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,A,B是拋物線C上異于點(diǎn)O的不同的兩點(diǎn),其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)若,求
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線由曲線
和曲線
組成,其中點(diǎn)
為曲線
所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)
為曲線
所在圓錐曲線的焦點(diǎn).
(1)若,求曲線
的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線
的漸近線,交曲線
于點(diǎn)
,求證:弦
的中點(diǎn)
必在曲線
的另一條漸近線上;
(3)對(duì)于(1)中的曲線,若直線
過(guò)點(diǎn)
交曲線
于點(diǎn)
,求
的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程.
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,
,
,
,
與
交于點(diǎn)
,若
平面
,
.
(1)求證:;
(2)求二面角的大;
(3)求異面直線所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,短軸長(zhǎng)為2;
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓上頂點(diǎn),左、右頂點(diǎn)分別為
、
.直線
且交橢圓于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)E 關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在五棱錐P-ABCDE中,△ABE是等邊三角形,四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在底面的射影落在線段AG上.
(Ⅰ)求證:平面PBE⊥平面APG;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°,S△PBE=
,點(diǎn)M在側(cè)棱PC上,CM=2MP,求二面角M-AB-D的余弦值.
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