Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，以線段為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過軸正半軸上一點(diǎn)作斜率為的直線.

①若與圓和橢圓都相切，求實(shí)數(shù)的值；

②直線在軸左側(cè)交圓于、兩點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)、（從上到下依次為、、、），且，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②的最大值為3

【解析】

（1）線段為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn)，可以得圓的方程及，將點(diǎn)代入橢圓方程得，又因?yàn)?/span>，就可解出，，進(jìn)而得出橢圓方程．

（2）①設(shè)直線 的方程為：，即，因?yàn)?/span>與圓和橢圓相切，得，△，解得，，．

②取中點(diǎn)，連接，則，又，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡得，，設(shè)，最后再求則 最值．

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為

因?yàn)榫�段為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn)

所以

又點(diǎn)在橢圓上

所以，解得

所以橢圓的方程為

（2）①因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即（ⅰ）

由，消去得

因?yàn)橹本�與橢圓相切，

所以即（ⅱ）

聯(lián)立（i）（ⅱ）得負(fù)值舍去

②取中點(diǎn)，連結(jié)，則，

又，所以為中點(diǎn)

由，解得

所以

代入橢圓方程化簡得

設(shè)

則，當(dāng)時(shí)，取最大值3，此時(shí).

又，時(shí)，，，，，

符合題意，故的最大值為3.