Question

設z1是虛數，z2=z1+

1

z1

是實數，且-1≤z2≤1
（1）求|z₁|的值以及z₁的實部的取值范圍；
（2）若ω=

1-z1

1+z1

，求證：ω為純虛數．

Answer 1

（1）設z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
則z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i
∵z₂是實數，b≠0，
∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，
∴可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的實部的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-z1

1+z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=-

b

a+1

i
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω為純虛數．