Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A′，使二面角A′—BD—C為直二面角，給出下面四個(gè)命題：①A′D⊥BC；②三棱錐A′—BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)，，，， 易得 ，再根據(jù)，平面平面，得平面，可判斷③的正誤；由二面角為直二面角，可得平面，則可求出，進(jìn)而可判斷②的正誤；根據(jù)平面，有， 得平面，④利用面面垂直的判定定理判斷④的正誤；根據(jù)平面，有，若，則可證平面，則得到，與已知矛盾，進(jìn)而可判斷①的正誤.

由題意，取中點(diǎn)，連接，則折疊后的圖形如圖所示：

由二面角為直二面角，可得平面，則，

＝，②正確，

∵，，且，

∴平面，故③正確，

∵，由幾何關(guān)系可得，，

∴，∴，

由平面，得，又

∴平面，∵平面，

∴　平面平面，④正確，

平面，，若，則可證平面，則得到，與已知矛盾，所以①錯(cuò)誤.

故選C.