【題目】已知橢圓C：
（
）的離心率為
，且過點
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過坐標原點的直線與橢圓交于M，N兩點，過點M作圓
的一條切線，交橢圓于另一點P，連接
，證明：
.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）根據橢圓的離心率為
，且過點
，由
，
，結合
求解.
（2）當直線
的斜率不存在時，可得直線的方程為
或
，驗證即可. 當直線斜率存在時，設直線的方程為
，根據直線與圓相切，得到
，設
，
，則
，聯立
，由弦長公式求得 
，然后由兩點間的距離公式，將韋達定理代入求得
即可.
（1）設橢圓的半焦距為c，因為橢圓的離心率為，且過點.
所以，，又，
解得
，
，
所以橢圓C的方程為：.
（2）①當直線的斜率不存在時，依題意，可得直線的方程為或.
若直線：，直線
：
，可得
，
，
，
則
，
，所以
；
其他情況，由對稱性，同理可得.
②當直線斜率存在時，設直線的方程為，
∵直線與圓
相切，
∴圓心O到直線的距離為
，即，
設，，則，
聯立，消元y，整理得
，
則
，
.
∴
，
∵
，
，
∴
.
∵
，
∴
.
綜上可知成立.
金博士一點全通系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，A為C的上頂點，過A的直線l與C交于另一點B，與x軸交于點D，O點為坐標原點．
（1）若
，求l的方程；
（2）已知P為AB的中點，y軸上是否存在定點Q，使得
？若存在，求Q的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠質檢部門要對該廠流水線生產出的一批產品進行檢驗，如果檢查到第
件仍未發(fā)現不合格品，則此次檢查通過且認為這批產品合格，如果在尚未抽到第件時已檢查到不合格品則拒絕通過且認為這批產品不合格.設這批產品的數量足夠大，可以認為每次檢查查到不合格品的概率都為
，即每次抽查的產品是相互獨立的.
（1）若
，求這批產品能夠通過檢查的概率；
（2）已知每件產品質檢費用為50元，若
，設對這批產品的質檢個數記作
，求的分布列；
（3）在（2）的條件下，已知1000批此類產品，若
，則總平均檢查費用至少需要多少元？（總平均檢查費用
每批次平均檢查費用
批數）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系
內，點 
在曲線
：
，（
為參數，
）上運動，以
為極軸建立極坐標系.直線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)寫出曲線
的標準方程和直線
的直角坐標方程；
(Ⅱ)若直線
與曲線
相交于
兩點，點
在曲線
上移動，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為
的圓柱形花柱，四周斑馬線的內側連線構成邊長為
的正方形.因工程需要，測量員將使用儀器沿斑馬線的內側進行測量，其中儀器
的移動速度為
，儀器
的移動速度為
.若儀器與儀器的對視光線被花柱阻擋，則稱儀器在儀器的“盲區(qū)”中.
（1）如圖
，斑馬線的內側連線構成正方形
，儀器在點
處，儀器在
上距離點
處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中，并說明理由；
（2）如圖
，斑馬線的內側連線構成正方形，儀器
從點出發(fā)向點
移動，同時儀器從點出發(fā)向點
移動，在這個移動過程中，儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時長為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面是邊長為2的正方形，
，
為
中點，點
在
上且
平面
，
在
延長線上，
，交
于
，且
(1)證明：
平面
；
(2)設點
在線段
上，若二面角
為
，求
的長度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
，直線l的參數方程為：
（t為參數），直線l與曲線C分別交于M，N兩點.
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若點
，求
的值.
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