【題目】如圖,橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為
,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T.求 的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
【答案】解:(I) …①
矩形ABCD面積為8,即2a2b=8…②
由①②解得:a=2,b=1,
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
(II) ,
由△=64m2﹣20(4m2﹣4)>0得 .
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 ,
.
當(dāng)l過A點(diǎn)時(shí),m=1,當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí),m=﹣1.
①當(dāng) 時(shí),有
,
,
其中t=m+3,由此知當(dāng) ,即
時(shí),
取得最大值
.
②由對(duì)稱性,可知若 ,則當(dāng)
時(shí),
取得最大值
.
③當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí), ,
,
由此知,當(dāng)m=0時(shí), 取得最大值
.
綜上可知,當(dāng) 或m=0時(shí),
取得最大值
【解析】(Ⅰ)通過橢圓的離心率,矩形的面積公式,直接求出a,b,然后求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ) 通過 時(shí),求出
取得最大值
.利用由對(duì)稱性,推出
,
取得最大值
.③當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí),
取得最大值
.求
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:
才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,
,
的前
項(xiàng)和為
.函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)是
,有
,且
是函數(shù)
的零點(diǎn).
(1)求的值;
(2)若數(shù)列公差為
,且點(diǎn)
,當(dāng)
時(shí)所有點(diǎn)都在指數(shù)函數(shù)
的圖象上.
請(qǐng)你求出解析式,并證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測(cè)試中,客觀題難題的計(jì)算公式為,其中
為第
題的難度,
為答對(duì)該題的人數(shù),
為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試,共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:
測(cè)試后,從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生,將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對(duì),“×”表示答錯(cuò)):
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表,并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù);
(2)從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人答對(duì)第5題的概率;
(3)定義統(tǒng)計(jì)量,其中
為第
題的實(shí)測(cè)難度,
為第
題的預(yù)估難度(
).規(guī)定:若
,則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)椋?/span> )
A.(﹣1,1]
B.(﹣1,0)∪(0,1]
C.(﹣1,1)
D.(﹣1,0)∪(0,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知曲線,曲線
,
是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)
的直線與
都有公共點(diǎn),則稱
為“
型點(diǎn)”.
(1)證明: 的左焦點(diǎn)是“
型點(diǎn)”;
(2)設(shè)直線與
有公共點(diǎn),求證:
,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“
型點(diǎn)”;
(3)求證: 內(nèi)的點(diǎn)都不是“
型點(diǎn)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C: =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(﹣c,0)(c>0),以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線C的漸近線于A,B,O三點(diǎn),且(
+
)
=0,若關(guān)于x的方程ax2+bx﹣c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2 , 則以|x1|,|x2|,2為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( )
A.鈍角三角形
B.直角三角形
C.銳角三角形
D.等腰直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)ω>0,函數(shù)y=sin(ωx+ )+2的圖象向右平移
個(gè)單位后與原圖象重合,則ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D.3
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