Question

【題目】如圖， 中， ， 分別是 的中點，將 沿 折起成 ，使面 面 ， 分別是 和 的中點，平面 與 ， 分別交于點 .

（1）求證： ；
（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ 分別是 的中點，∴ ，而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
又平面 平面 ，故
（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得：

， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
設(shè)平面 的一個法向量為 ，
則 ，令 ，解得 ，
∴
設(shè)平面 的一個法向量為 ，
則 ，取 ，得 ，
設(shè)二面角 的平面角為 ，
則 ，∴ .
∴二面角 的正弦值為
【解析】(1)利用中位線證明 D E / / B C，從而得到線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證出I H / / B C。
（2）利用空間向量，建立空間直角坐標(biāo)，利用方程組求出兩個半平面的法向量，再求出法向量夾角余弦值，進(jìn)而求出正弦值。