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【題目】已知函數 ，f′（x）為函數f（x）的導函數．

（1）若F（x）=f（x）+b，函數F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，求a，b的值；
（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，求實數a的取值范圍．

【答案】
（1）解：∵函數 ，

∴F′（x）=lnx+x﹣ax2，

∵函數F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，

∴F′（1）=﹣2，F（1）=﹣1，

∴1﹣a=﹣2，﹣1+ ﹣ +b=﹣1，

∴a=3，b=


（2）解：lnx+x﹣ax2≤﹣x+ax，

∴a≥ ，

設g（x）= ，則g′（x）= ，

又h（x）=1﹣lnx﹣x，則h′（x）=﹣ ﹣1＜0

又因為h（1）=0，所以（0，1），h（x）＞0，（1，+∞），h（x）＜0，

∴g（x）= 在（0，1）上單調遞增，（1，+∞）上單調遞減，

∴g（x）max=1，

∴a≥1．


【解析】（1）求導數，利用函數F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，F′（1）=﹣2，F（1）=﹣1，即可求a，b的值；（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，a≥ ，求出右邊的最大值，即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．

練習冊系列答案
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（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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