【題目】定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”;如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比,已知橢圓.
(1)若橢圓,判斷
與
相似?如果相似,求出
與
的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓相似且焦點在
軸上,短半軸長為
的橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;若在橢圓
上存在兩點
、
關(guān)于直線
對稱,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)如圖:直線與兩個“相似橢圓”
和
分別交于點
和點
,試在橢圓
和橢圓
上分別作出點
和點
(非橢圓頂點),使
和
組成以
為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)
【答案】(1)橢圓與
相似,相似比為
;(2)
;(3)見解析.
【解析】
(1)由題意橢圓與
相似,由橢圓
的特征三角形是腰長為4,底邊長為
的等腰三角形,能求出
與
的相似比.
(2)橢圓的方程為:
,
,設(shè)直線
,點
,
,
,
,
中點為
,
,由
,得
,由此利用韋達(dá)定理、根的判別式能求出實數(shù)
的取值范圍.
(3)法1:過原點作直線,交橢圓
和橢圓
于點
和點
,得到
和
即為所求相似三角形,且相似比為
.
法2:過點、點
分別做
軸(或
軸)的垂線,交橢圓
和橢圓
點
和點
,得到
和
即為所求相似三角形,且相似比為
.
解:(1)橢圓與
相似.
因為,
因為,
因為橢圓的特征三角形是腰長為4,底邊長為
的等腰三角形,
而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為
的等腰三角形,
因此兩個等腰三角形相似,且相似比為.
(2)橢圓的方程為:
,
,
設(shè)直線,點
,
,
,
,
中點為
,
,
則,
,
則,
,
中點在直線
上,
,
,
即直線的方程為:
,
由題意可知,直線與橢圓
有兩個不同的交點,
即方程有兩個不同的實數(shù)解,
,即
.
(3)作法1:過原點作直線,交橢圓
和橢圓
于點
和點
,
則和
即為所求相似三角形,且相似比為
.
作法2:過點、點
分別做
軸(或
軸)的垂線,交橢圓
和橢圓
點
和點
,
則和
即為所求相似三角形,且相似比為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中
,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會決定在直線海岸
和
上分別修建觀光長廊
和AC,其中
是寬長廊,造價是
元/米,
是窄長廊,造價是
元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段
上靠近點
的三等分點
處建一個觀光平臺,并建水上直線通道
(平臺大小忽略不計),水上通道的造價是
元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目,要求
的面積最大,那么
和
的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月25日-27日,北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇,組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問,要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團,且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為 ( )
A. 198B. 268C. 306D. 378
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了預(yù)測下月產(chǎn)品銷售情況,找出了近7個月的產(chǎn)品銷售量(單位:萬件)的統(tǒng)計表:
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售量 |
但其中數(shù)據(jù)污損不清,經(jīng)查證,
,
.
(1)請用相關(guān)系數(shù)說明銷售量與月份代碼
有很強的線性相關(guān)關(guān)系;
(2)求關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)公司經(jīng)營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)(
),每件產(chǎn)品的銷售價為10元,預(yù)測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,請說明理由.(毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費)
參考公式及數(shù)據(jù):,相關(guān)系數(shù)
,當(dāng)
時認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系,回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:
(1)求:,
(2)猜想數(shù)列的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)若且
對于
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南北朝時代的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn),他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”. 其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為
,則“
相等”是“
總相等”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為橢圓
上兩點,過點
且斜率為
的兩條直線與橢圓
的交點分別為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;
(Ⅱ)若四邊形為平行四邊形,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:內(nèi)有一點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A、B兩點.
(1)當(dāng)l經(jīng)過圓心C時,求直線l的方程;
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45時,求弦AB的長.
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