Question

【題目】

在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓C：上的一動點(diǎn)，點(diǎn)D（1,0），點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CN上，且.

（Ⅰ）求動點(diǎn)P表示的曲線E的方程；

（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點(diǎn)為，當(dāng)動點(diǎn)P與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明見解析過程.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.這樣利用橢圓的定義可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，則，利用斜率公式，可以證明出為定值.

（Ⅰ）由點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.

由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以C，D為焦點(diǎn)的橢圓.

設(shè)橢圓方程為.

又可得

所以動點(diǎn)P表示的曲線E的方程為.

（Ⅱ）證明：

易知A（-2,0），B（2,0）. 設(shè)，則，即，

則，，

即，

∴為定值．