【題目】已知函數(shù).
(1)若是偶函數(shù),求
的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)
時(shí),
有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求
的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程
在區(qū)間
上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
,
,證明:
.
【答案】(1);(2)
;(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)是偶函數(shù),可得
,利用恒等,即可求出結(jié)果;
(2)當(dāng)時(shí),
有且只有一實(shí)根,可得
,然后再利用換元法,設(shè)
,
,轉(zhuǎn)化為
,
有一實(shí)根,根據(jù)根的分布,即可求出結(jié)果;
(3)設(shè),對分段函數(shù)的零點(diǎn)分析可得
,即
,
,消除
,整理可得
,進(jìn)而可得
,據(jù)此即可求證結(jié)果.
(1)是偶函數(shù),所以
,則
.
所以.
(2)當(dāng)時(shí),
有且只有一實(shí)根,即
,
設(shè),則
,
所以,
有一實(shí)根,
∵恒成立,兩根之積小于0,所以
,
∴.
(3)不妨設(shè),則
,
若,與
矛盾,
若,與
是單調(diào)函數(shù)矛盾,
所以;
所以①,
②,
由①,得:,由②,得:
;
聯(lián)立①、②消去得:
,即
,則
.
因?yàn)?/span>,所以
,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種熱飲需用開水沖泡,其基本操作流程如下:①先將水加熱到100,水溫
與時(shí)間
近似滿足一次函數(shù)關(guān)系;②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置,溫度
與時(shí)間
近似滿足函數(shù)的關(guān)系式為
(
為常數(shù)), 通常這種熱飲在40
時(shí),口感最佳,某天室溫為
時(shí),沖泡熱飲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,那么按上述流程沖泡一杯熱飲,并在口感最佳時(shí)飲用,最少需要的時(shí)間為
A. 35 B. 30
C. 25 D. 20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次活動(dòng)中,有5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得、
兩種獎(jiǎng)品中的一種,并規(guī)定:每個(gè)人通過拋擲一枚質(zhì)地均為的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品(骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)),拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得
獎(jiǎng)品,拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得
獎(jiǎng)品.
(1)求這5名幸運(yùn)之星中獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得
獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率;
(2)設(shè)、
分別為獲得
、
兩種獎(jiǎng)品的人數(shù),并記
,求隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,直線
,設(shè)圓
的半徑為1, 圓心在
上.
(1)若圓心也在直線
上,過點(diǎn)
作圓
的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點(diǎn)
,使
,求圓心
的橫坐標(biāo)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中直線與拋物線C:
交于A,B兩點(diǎn),且
.
求C的方程;
若D為直線
外一點(diǎn),且
的外心M在C上,求M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】漁民出海打魚,為了保證獲得的魚新鮮,魚被打上岸后,要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏,若不及時(shí)處理,打上來的魚很快地失去新鮮度(以魚肉內(nèi)的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度.三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨,是氨的衍生物,它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的.三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降,魚體開始變質(zhì)進(jìn)而腐。.已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時(shí)間
(分)滿足的函數(shù)關(guān)系式為
.若出海后10分鐘,這種魚失去的新鮮度為10%,出海后20分鐘,這種魚失去的新鮮度為20%,那么若不及時(shí)處理,打上來的這種魚在多長時(shí)間后開始失去全部新鮮度(已知
,結(jié)果取整數(shù))( )
A.33分鐘B.40分鐘C.43分鐘D.50分鐘
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
,如圖所示,斜率為
且不過原點(diǎn)的直線
交橢圓
于兩點(diǎn)
,線段
的中點(diǎn)為
,射線
交橢圓
于點(diǎn)
,交直線
于點(diǎn)
.
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線
過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的有( )
①在回歸分析中,可以借助散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否呈線性相關(guān)關(guān)系.
②在回歸分析中,可以通過殘差圖發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù),殘差平方和越小,模型的擬合效果越好.
③在回歸分析模型中,相關(guān)系數(shù)的絕對值越大,說明模型的擬合效果越好.
④在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量
每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量
增加0.1個(gè)單位.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班有男生27名,女生18名,用分層抽樣的方法從該班中抽取5名學(xué)生去敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).
(1)求從該班男生、女生中分別抽取的人數(shù);
(2)為協(xié)助敬老院做好衛(wèi)生清掃工作,從參加活動(dòng)的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求這2名學(xué)生均為女生的概率.
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