Question

已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的最大值.
（參考數(shù)值:自然對數(shù)的底數(shù)≈）.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法1是將函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，利用參數(shù)分離法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是求得導(dǎo)數(shù)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識求出的取值范圍；（2）先將代入函數(shù)的解析式并求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)的極值點(diǎn)所存在的區(qū)間，結(jié)合條件確定的最大值.
試題解析：（1）解法1：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043730637566.png" style="vertical-align:middle;" />，
，.
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，即對都成立.
對都成立.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號.
，即，的取值范圍為.
解法2：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043730637566.png" style="vertical-align:middle;" />，
，.
方程的判別式.
①當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)，對都成立,
故函數(shù)在定義域上是增函數(shù).
②當(dāng)，即或時(shí)，要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
只需對都成立.
設(shè),則，得.
故.
綜合①②得的取值范圍為；
（2）當(dāng)時(shí)，.
.
函數(shù)在上存在極值，
∴方程在上有解,
即方程在上有解.
令，由于，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減.
，
，
函數(shù)的零點(diǎn).
方程在上有解，，.
，的最大值為.