Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）作出相關(guān)輔助線，利用中位線定理，即可求解。

（Ⅱ）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積即可求出二面角。

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接.連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.又，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，由余弦定理得，

，

所以.所以.因?yàn)?/span>平面，，

所以以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè)平面的法向量為，則即

令，得，所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量為，

所以，

所以二面角的大小為.