【題目】在四棱錐中，底面ABCD是邊長為6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點．

Ⅰ求證：．

Ⅱ若．

求PC與平面BDF所成角的正弦值；

側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點E的一條直線，使得該直線上任一點M與C的連線，都滿足平面BDF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度，若不存在，請明理由．

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

證明平面PAC即可得出；建立空間坐標系，求出平面BDF的法向量，計算和的夾角的余弦值即可；取PF的中點G，證明平面，即可得出結(jié)論．

證明：平面ABCD，平面ABCD，

，

四邊形ABCD是菱形，

，

又，平面PAC，平面PAC，

平面PAC，

又平面PAC，

．

解：設(shè)AC，BD交于點O，以O為坐標原點，以OB，OC，平面ABCD過點O的垂線為坐標軸建立空間直角坐標系，

則0，，0，，，3，，，

，0，，，

設(shè)平面BDF的法向量為y，，則，即，

令可得，即2，，

，．

與平面BDF所成角的正弦值為，．

取PF的中點G，連接FG，CG，

，G分別是PD，PF的中點，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

，O分別是AG，AC的中點，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

又平面CEG，平面CEG，，

平面平面BDF，

側(cè)面PAD內(nèi)存在過點E的一條直線EG，使得該直線上任一點M與C的連線，

都滿足平而BDF，

此直線被直線PA、PD所截線段為．

練習冊系列答案
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【題目】（2017高考新課標Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

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（1）求橢圓的標準方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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【題目】已知，實數(shù)，函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）令，當時，試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立？若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由.

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【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡稱“創(chuàng)城”活動中，教委對本區(qū)A，B，C，D四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成如表：

學校

A

B

C

D

抽查人數(shù)

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)

40

10

9

15

注：參與率是指：一所學�！皠�(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值

假設(shè)每名高中學生是否參與“創(chuàng)城”活動是相互獨立的．

Ⅰ若該區(qū)共2000名高中學生，估計A學校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)；

Ⅱ在隨機抽查的100名高中學生中，從A，C兩學校抽出的高中學生中各隨機抽取1名學生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動的概率；

Ⅲ若將表中的參與率視為概率，從A學校高中學生中隨機抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動人數(shù)的分布列及數(shù)學期望．

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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分別是AB，PB，CD的中點．

（1）求證：AC⊥PB；

（2）求證：GF∥平面PAD；

（3）求點G到平面PAB的距離．

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【題目】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足.設(shè)點的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的方程為

B.在上存在點，使得

C.當，，三點不共線時，射線是的平分線

D.在三棱錐中，面，且，，，該三棱錐體積最大值為12

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【題目】已知函數(shù)，.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）若恒成立，證明：當時，.

（III）在（II）的條件下，證明：.

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【題目】如圖所示，在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC與BD相交于點O，E，G分別為PD，CD中點，

(1)求證：EO//平面PBC；

(2)設(shè)線段BC上點F滿足BC=3BF，求三棱錐E—OFG的體積．

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