已知
(1) 求函數(shù)上的最小值;
(2) 若對一切恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3) 證明:對一切,都有
成立.
(1);(2)
.
解析試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,再討論
的范圍,以便得到
在
上的單調(diào)性.從而得到函數(shù)
的最小值;(2)由題意得到
,即
.再通過導(dǎo)數(shù)研究
在
上的單調(diào)性,從而得
,要想對一切
恒成立,則
;(3)問題等價(jià)于證明
,由(1)可以得
的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取到.再構(gòu)造函數(shù)
,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由單調(diào)性研究函數(shù)的最大值. 對一切
,都有
成立,即證明
要小于函數(shù)
的最小值.在本問中,盡管二者相等,但因?yàn)椴煌瑫r(shí)取到,故仍可滿足題中的不等式.
試題解析:(1),
當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng)
單調(diào)遞增
①,即
時(shí),
;
②,即
時(shí),
上單調(diào)遞增,
;所以
(2),則
設(shè),則
,
當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng)
單調(diào)遞增,
所以
所以.所以實(shí)數(shù)
的取值范圍為
.
(3)問題等價(jià)于證明,
由(1)可知的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取到,
設(shè),則
,易知
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取到,
從而對一切,都有
成立.
考點(diǎn):1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.通過單調(diào)性求最值;3.不等式恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求函數(shù)
的解析表達(dá)式;
(2)試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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已知定義在上的函數(shù)
,其中
為常數(shù).
(1)當(dāng)是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),求
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若
,在
處取得最大值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)的導(dǎo)數(shù)為
,若函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱,且函數(shù)
在
處取得極值.
(I)求實(shí)數(shù)的值;
(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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已知函數(shù),
.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
≤
恒成立,求
的取值范圍.
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已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試解答下列兩小題.
(i)若不等式對任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(ii)若是兩個(gè)不相等的正數(shù),且以
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(II)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的集合.
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