【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ） ， 在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且極大值， 極小值可得在無(wú)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴． ，

∴在處切線為，即為．

（Ⅱ）令，解出，令，解出．

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅲ） ，

．

令，解出或，令，解出．

∴在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

極大值， 極小值，

∵在時(shí)， 極大值小于零，

在時(shí)， 極小值小于零．在， 單調(diào)遞增，說(shuō)明在無(wú)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，∴有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 (a>b>0)的離心率為.

(Ⅰ)若原點(diǎn)到直線x＋y－b＝0的距離為，求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)M，總存在實(shí)數(shù)λ、μ，使等式成立，求λ2＋μ2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(導(dǎo)學(xué)號(hào)：05856263)

已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作圓M：(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)為P、Q，且|PQ|＝.

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為k1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為2，連接AM，BM并延長(zhǎng)分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k2，問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2016年1月，某國(guó)宣布成功進(jìn)行氫彈試驗(yàn)后，A，B，C，D四國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人及聯(lián)合國(guó)主席紛紛表示譴責(zé)，就此，某電視臺(tái)特別邀請(qǐng)一軍事專家對(duì)這一事件進(jìn)行評(píng)論，若該軍事專家計(jì)劃從A，B，C，D四國(guó)及聯(lián)合國(guó)主席這5個(gè)領(lǐng)導(dǎo)人中任選2人的發(fā)言態(tài)度進(jìn)行評(píng)論，那么，他評(píng)論的這2人中至少包括A、B一國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人的概率為(　　)

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(導(dǎo)學(xué)號(hào)：05856288)

設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x－x，g(x)＝aex－x，其中a為正實(shí)數(shù)．

(Ⅰ)若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)都沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (a為常數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|．

（l）求f（x）≥1的解集；

（2）若對(duì)任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）選修4-2：矩陣與變換

求矩陣的特征值和特征向量.

（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，圓的方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程（是參數(shù)），若圓與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)?/span>A的函數(shù)f(x)，若對(duì)任意的x1，x2∈A，都有f(x1＋x2)－f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)為“定義域上的M函數(shù)”，給出以下五個(gè)函數(shù)：

①f(x)＝2x＋3，x∈R；②f(x)＝x2，x∈；③f(x)＝x2＋1，x∈；④f(x)＝sin x，x∈；⑤f(x)＝log2x，x∈[2，＋∞)．

其中是“定義域上的M函數(shù)”的有(　　)

A. 2個(gè) B. 3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)

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