【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，為棱上的點，.

（1）若為棱的中點，求證：平面；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取線段的中點，連結，，推導出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（2）以為坐標原點，建立分別以，，所在直線為軸，軸，軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

（1）證明：取線段的中點，連接.

在中，為中位線

∴且，

∵且，

∴且

∴四邊形為平行四邊形.

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）解：如圖所示以點為坐標原點，建立分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，

于是

設平面的一個法向量為，則，

將坐標代入并取，得.

另外易知平面的一個法向量為，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知一列非零向量滿足:(其中是非零常數(shù)).

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)求向量與夾角的弧度數(shù)

(3)當時,把中所有與共線的向量按原來的順序排成一列,記為令為坐標原點,求點列的極限點D的坐標.(注:若點坐標為且則稱點D為點列的極限點).

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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關關系,請將（2）的結果填入空白欄,并求出關于的回歸直線方程.

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【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

點P是曲線C1：（x－2）2＋y2＝4上的動點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點P逆時針旋轉90°得到點Q，設點Q的軌跡為曲線C2．

（Ⅰ）求曲線C1，C2的極坐標方程；

（Ⅱ）射線（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，設定點M（2，0），求△MAB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）已知直線l過點，它的一個方向向量為．

①求直線l的方程；

②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經(jīng)過原點，試用n表示d的關系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；

（2）在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時滿足以下三個條件：①點；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場舉行優(yōu)惠促銷,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種:方案一:每滿200元減50元；方案二:每滿200元可抽獎一次.具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱,裝2個紅球、2個白球的乙箱,以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球,所得結果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)

(1)若兩個顧客都選擇方案二,各抽獎一次,求至少一個人獲得優(yōu)惠的概率；

(2)若某顧客選擇方案二,請分別計算該顧客獲得半價優(yōu)惠的概率、7折優(yōu)惠的概率以及8折優(yōu)惠的概率；

(3)若小明的購物金額為320元,你覺得小明應該選取哪個方案,為什么？

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【題目】如圖，已知正方體的棱長為1．

正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線？

若M，N分別是 ，的中點，求異面直線MN與BC所成角的大小．

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【題目】已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上半部分的動點，連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于兩點（點在的上方或重合）．

（1）當面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當時，在軸上是否存在點使得為定值，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由．

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【題目】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點在圓上，求m的值

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