精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E :的焦距為4，兩條準線間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點.

(1)求橢圓E 的標準方程；

(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形，且BC＝4，點M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內的點P .①若M，N分別是BC，CD的中點，證明:點P在橢圓E上；②若點P在橢圓E上，證明:為定值，并求出該定值.

【答案】(1) ；(2)①證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）由求得,進而求得橢圓的方程；

（2）①分別求得,坐標,再求得直線與直線方程,即可求得交點坐標,進而得證；②分別設直線的方程為,直線的方程為,求得點,坐標,則,利用斜率公式求證即可

（1）由題,,則,所以,

所以橢圓的標準方程為：

（2）證明：①由（1）可得,,

因為,且四邊形是矩形,

所以,,

因為點分別是的中點,

所以,,

則直線為：,即,

直線為：,即,

所以,解得,即

因為,

所以點在橢圓上

②設直線的方程為,

令,得,

設直線的方程為,

令,得,

,

設,則,

,

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上運動，求的值；

（2）設直線和圓相切，和橢圓交于、兩點，為原點，線段、分別和圓交于、兩點，設、的面積分別為、，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解高一年級學生學習數學的狀態(tài),從期中考試成績中隨機抽取50名學生的數學成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數學成績的中位數和平均數(保留到0.01);

(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據頻率分布直方圖估計該校高一學生數學成績達到“優(yōu)秀”等次的人數.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°.

（1）證明：AD⊥BA1；

（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】北京聯(lián)合張家口獲得2022年第24屆冬奧會舉辦權，我國各地掀起了發(fā)展冰雪運動的熱潮，現對某高中的學生對于冰雪運動是否感興趣進行調查，該高中男生人數是女生的1.2倍，按照分層抽樣的方法，從中抽取110人，調查高中生“是否對冰雪運動感興趣”得到如下列聯(lián)表：

感興趣

不感興趣

合計

男生

40

女生

30

合計

110

（1）補充完成上述列聯(lián)表；

（2）是否有99%的把握認為是否喜愛冰雪運動與性別有關.

附： （其中）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是定義在上的函數，滿足.

（1）證明：2是函數的周期；

（2）當時，，求在時的解析式，并寫出在（）時的解析式；

（3）對于（2）中的函數，若關于x的方程恰好有20個解，求實數a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數，若存在定義域內某個區(qū)間，使得在上的值域也是，則稱函數在定義域上封閉.如果函數在上封閉，那么實數的取值范圍是______.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為45°時，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案