Question

【題目】設(shè)雙曲線的方程為.

（1）設(shè)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線，且和有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的方程；

（2）設(shè)是的一條漸近線，、是上相異的兩點(diǎn).若點(diǎn)是上的一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為.試判斷點(diǎn)是否可能在上，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）或或或；（2）點(diǎn)不可能在雙曲線上，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）對(duì)所求直線分三種情況討論：①軸，驗(yàn)證即可；②直線與雙曲線相切，設(shè)出直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，由求出直線的斜率，可得出直線的方程；③直線與雙曲線的漸近線平行，可得出直線的方程.綜合可得出所求直線的方程；

（2）假設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程驗(yàn)證即可得出結(jié)論.

（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，顯然與雙曲線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，

②當(dāng)直線的斜率存在且與雙曲線相切時(shí)，設(shè)斜率為，

則直線的方程為，即，

聯(lián)立方程，消去得，

直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，

化簡(jiǎn)得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即；

③當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，也與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，

所以，直線的方程為或，即或.

綜上所述，直線的方程為或或或；

（2）假設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，

不妨設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、、，

關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為，點(diǎn)，

關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為，點(diǎn)，

點(diǎn)在雙曲線上，，

，

∴，

又點(diǎn)在雙曲線上，，

上式化為，，，即，

，則，此式顯然不成立，

故假設(shè)不成立，所以點(diǎn)不可能在雙曲線上.