Question

【題目】已知以橢圓C：（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，直線x+y+1＝0與以橢圓C的右焦點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）矩形ABCD的兩頂點C、D在直線y＝x+2上，A、B在橢圓C上，若矩形ABCD的周長為，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x+1或.

【解析】

（1）由兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，得出，于是得出，然后利用圓心到直線的距離等于圓的半徑列出等式，并代入關系式可得出、、的值，即可得出橢圓的方程；（2）根據矩形對邊互相平行，設直線的方程為，并設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，由得出的取值范圍，列出韋達定理，利用弦長公式得出的表達式，利用兩平行直線的距離公式得出直線和的距離，即為，再由列出有關的方程，即可求出的值，于是可得出直線的方程.

（1）由題意知，以橢圓C的右焦點為圓心，橢圓長半軸長為半徑的圓的方程為，

圓心到直線x+y+1＝0的距離，①

∵以橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，

所以，b＝c，，代入①式得b＝c＝1，.

因此，所求橢圓的方程為；

（2）設直線AB的方程為y＝x+m，代入橢圓C的方程，整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

由△＞0，得，

設點A（x1，y1）、B（x2，y2），則，.

，易知，

則由知，

所以，由已知可得，即，

整理得41m2+30m﹣71＝0，解得m＝1或，

所以，直線AB的方程為y＝x+1或.