Question

【題目】已知常數(shù)，函數(shù).

(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得，分類(lèi)討論有：

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增；

(2)首先確定，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論計(jì)算可得a的取值范圍是.

試題解析：

（1）

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，得

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)不存在極值點(diǎn)，因而要使得有兩個(gè)極值點(diǎn)，必有

又的極值點(diǎn)只可能是，且由的定義域可知

，所以

解得，此時(shí)分別是的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，而

令由且知時(shí)，當(dāng)，時(shí)，

記

當(dāng)，，所以

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而故當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，，所以

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而

故當(dāng)時(shí)，

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為