【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線的切線
經(jīng)過點
,求
的方程;
(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求
的取值范圍.
【答案】(1)或
;(2)
.
【解析】分析:(1)要求直線的方程,因為直線
經(jīng)過點
,所以應(yīng)求直線的斜率。應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求斜率。故先設(shè)切點為
,求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得
,所以
,因為切線過點
,所以用兩點連線的斜率公式可得斜率為
,所以
,即
,整理可得
,化簡得
,解得
或
。分兩種情況討論,可求斜率,進而求切線的方程。(2)方程
有兩個不相等的實數(shù)根,就是方程
有兩個不相等的實數(shù)根,應(yīng)構(gòu)造函數(shù)
,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與
軸有兩個交點,即函數(shù)
有兩個零點.故應(yīng)求導(dǎo),求函數(shù)的單調(diào)性。求導(dǎo)得
。因為
的正負(fù)與
的正負(fù)有關(guān)。 所以分①
②
③
三種情況討論。
①當(dāng)時,函數(shù)
的解析式變?yōu)?/span>
,由二次函數(shù)可知此時函數(shù)
只有一個零點。
②當(dāng)時,因為
,所以
。所以
的正負(fù)只和
的正負(fù)有關(guān)。所以由
得
,由
得
,進而可得
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù)。所以
。因為
,所以
在
上由唯一的零點,且該零點在
上.再考慮函數(shù)
在
上零點的個數(shù)。因為
。當(dāng)
即
時,函數(shù)
在
上有一個零點,所以
時,函數(shù)
有兩個零點。當(dāng)
即
時,
,所以
,取
,因為函數(shù)
在
上為減函數(shù),則
,所以
在
上有唯一零點,進而函數(shù)
在
上有唯一零點。所以函數(shù)
有兩個零點.
③當(dāng)時,
。由
,得
或
。
當(dāng)即
時,
,所以
在定義域上為減函數(shù),所以函數(shù)
至多有一個零點.
當(dāng)即
亦即
時,由
,
?傻
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,又因為
所以至多有一個零點.
當(dāng)即
亦即
時,由
,
。可得
在
上單調(diào)遞增,在
和
上單調(diào)遞減,又因為
,所以
至多有一個零點.綜上可得
的取值范圍為
.
詳解:(1)設(shè)切點為,因為
,所以
由斜率知:,即
,可得,
,
,所以
或
當(dāng)時,
,切線
的方程為
,即
,
當(dāng)時,
,切線
的方程為
,即
綜上所述,所求切線的方程為
或
;
(2)由得:
,代入整理得:
,
設(shè)
則,由題意得函數(shù)
有兩個零點.
當(dāng)時,
,此時
只有一個零點.
當(dāng)時,由
得
,由
得
,即
在
上為減函 數(shù),
在上為增函數(shù),而
,所以
在
上由唯一的零點,且該零點在
上.
若,則
,取
,
則,
所以在
上有唯一零點,且該零點在
上;
若,則
,所以
在
上有唯一零點;
所以,
有兩個零點.
③當(dāng)時,由
,得
或
,
若,
,所以
至多有一個零點.
若,則
,易知
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,
又
所以至多有一個零點.
若,則
,易知
在
上單調(diào)遞增,在
和
上單調(diào)遞減,又
,所以
至多有一個零點.
綜上所述:的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=3x+2xf′(1),則曲線f(x)在x=0處的切線在x軸上的截距為( )
A.1
B.5ln3
C.﹣5ln3
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:
①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差不變;
②設(shè)有一個線性回歸方程,變量x增加1個單位時,y平均增加5個單位;
③設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越接近于0,x和y之間的線性相關(guān)程度越強;
④在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2的值,則K2的值越大,判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大.
以上錯誤結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式恒成立,求實數(shù)
的最大值;
(2)當(dāng)時,函數(shù)
有零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地為了了解地區(qū)100000戶家庭的用電情況,采用分層抽樣的方法抽取了500戶家庭的月均用電量,并根據(jù)這500戶家庭的月均用電量畫出頻率分布直方圖(如圖),則該地區(qū)100000戶家庭中月均用電度數(shù)在[70,80]的家庭大約有戶.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生是否選修哪門課互不影響.已知某學(xué)生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08,選修甲和乙而不選修丙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.
(1)記“函數(shù)f(x)=x2+ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A,求事件A的概率;
(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)P1,P2,…,P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點.現(xiàn)任選其中三個不同點構(gòu)成一個三角形,記該三角形的面積為隨機變量S.
(1)求S=的概率;
(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈(0,1],|f(x)|≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若a= ,證明:ex﹣1f(x)≥x.
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