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【題目】已知函數

(1)判斷函數在上的單調性

(2)若恒成立，求整數的最大值

(3)求證：

【答案】（1）函數在上為減函數 （2）整數的最大值為3 （3）見解析

【解析】

（1）由導數的應用，結合，得函數在上為減函數；

（2）原命題可轉化為即恒成立，即，再構造函數，利用導數求其最小值即可；

（3）由（2）知，，，令，再求和即可證明不等式，得解.

解：（1）因為，

所以，，

又因為 ，所以，，

所以 ，

即函數在上為減函數；

（2）由恒成立，

即恒成立，

即，

設，

所以，，

令，

則，

即在為增函數，

又 ，，

即存在唯一的實數根，滿足，且，，

當時，，，當時，，，

即函數在為減函數，在為增函數，

則，

故整數的最大值為3；

（3）由（2）知，，，

令，

則 ，

則=，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖（1）是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項目的效果圖，考慮到空間和安全方面的原因，初步設計方案如下：如圖（2），自直立于水面的空中平臺的上端點P處分別向水池內的三個不同方向建水滑道，，，水滑道的下端點在同一條直線上，，平分，假設水滑梯的滑道可以看成線段，均在過C且與垂直的平面內，為了滑梯的安全性，設計要求.

（1）求滑梯的高的最大值；

（2）現在開發(fā)商考慮把該水滑梯項目設計成室內游玩項目，且為保證該項目的趣味性，設計，求該滑梯裝置（即圖（2）中的幾何體）的體積最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；

（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

附注：

參考數據：，，

，≈2.646.

參考公式：相關系數

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設定義在R上的函數，當時，取極大值，且函數的圖象關于原點對稱．

（1）求的表達式；

（2）試在函數的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上；

（3）設，，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的單調減區(qū)間為.

（1）求、的值及極值；

（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，則的零點個數為( )

A. 6B. 7C. 8D. 9

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】將，，，，這5名同學從左至右排成一排，則與相鄰且與之間恰好有1名同學的排法有________種.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為，求的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平而直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為 ，曲線的極坐標方程為

（1）求曲線和的直角坐標方程；

（2）已知點是曲線上一點、分別是和上的點，求的最大值.

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