Question

【題目】設(shè)為實數(shù)，函數(shù).

（1）求證： 不是上的奇函數(shù)；

（2）若是上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由無解，即可得結(jié)論；（2）分三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖像及單調(diào)性，排除不合題意的值即可.（3）三種情況分別結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷出函數(shù)零點個數(shù)，即可得出結(jié)果.

試題解析：（1）假設(shè)是上的奇函數(shù)，

則對任意的，都有 （*）

取，得，即，解得，

此時，所以，從而，

這與（*）矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不是上的奇函數(shù)；

（2），

①當(dāng)時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不符；

②當(dāng)時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不符；

③當(dāng)時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以是上的單調(diào)減函數(shù)．

綜上， ．

（3）①當(dāng)時，由（2）知， 是上的單調(diào)減函數(shù)，至多1個零點，不符；

②當(dāng)時，由（2）知， ，所以在上單調(diào)遞減，

所以在上至多1個零點，不符；

③當(dāng)時，由（2）知， ，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因為在區(qū)間上恰有3個零點，

所以，

，解得或，又，故，綜上，實數(shù)的取值范圍是．