Question

【題目】如圖，AB是的⊙O直徑，CB與⊙O相切于B，E為線段CB上一點，連接AC、AE分別交⊙O于D、G兩點，連接DG交CB于點F． （Ⅰ）求證：C、D、G、E四點共圓．
（Ⅱ）若F為EB的三等分點且靠近E，EG=1，GA=3，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接BD，則∠AGD=∠ABD， ∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°
∴∠C=∠AGD，
∴∠C+∠DGE=180°，
∴C，E，G，D四點共圓
（Ⅱ）解：∵EGEA=EB2 ， EG=1，GA=3，
∴EB=2，
又∵F為EB的三等分點且靠近E，
∴ ， ，
又∵FGFD=FEFC=FB2 ，
∴ ，CE=2．

【解析】（Ⅰ）連接BD，由題設條件結(jié)合圓的性質(zhì)能求出∠C=∠AGD，從而得到∠C+∠DGE=180°，由此能證明C，E，G，D四點共圓．（Ⅱ）由切割線定理推導出EB=2，由此能求出CE的長．