和平面解析幾何的觀點相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡.在空間直角坐標系O-xyz中,空間曲面的方程是一個三元方程F(x,y,z)=0.
設(shè)F1、F2為空間中的兩個定點,|F1F2|=2c>0,我們將曲面Γ定義為滿足|PF1|+|PF2|=2a(a>c)的動點P的軌跡.
(1)試建立一個適當?shù)目臻g直角坐標系O-xyz,求曲面Γ的方程;
(2)指出和證明曲面Γ的對稱性,并畫出曲面Γ的直觀圖.
【答案】
分析:(1)以直線F
1F
2為x軸,線段F
1F
2的垂直平分線為x軸,以與xoy平面垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標系如圖.設(shè)P的坐標為(x,y,z),根據(jù)兩點間的距離公式,以a、c為參數(shù)建立關(guān)于x、y、z的等式,再移項、平方,化簡整理得二次方程為
,即為所求曲面Γ的方程;
(2)根據(jù)空間關(guān)于原點、坐標軸和坐標平面對稱的公式,分別對(1)求出的方程加以驗證,可得曲面Γ是關(guān)于原點對稱、關(guān)于三條坐標軸對稱,也關(guān)于三個坐標平面對稱的圖形.因此不難作出它的直觀圖,如圖所示.
解答:解:(1)以兩個定點F
1,F(xiàn)
2的中點為坐標原點O,以F
1,F(xiàn)
2所在的直線為y軸,以線段F
1F
2的垂直平分線為x軸,
以與xoy平面垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,如圖所示
則F
1(0,c,0),F(xiàn)
2(0,-c,0),設(shè)P的坐標為(x,y,z),可得
|F
1F
2|=2c>0,
,
∴
,
移項得
兩邊平方,得∴
,
兩邊平方,整理得
令
,得
.①
因此,可得曲面Γ的方程為
.
(2)對稱性:
由于點(x,y,z)關(guān)于坐標原點O的對稱點(-x,-y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于坐標原點O對稱;
由于點(x,y,z)關(guān)于x軸的對稱點(x,-y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于x軸對稱;同理,曲面Γ關(guān)于y軸對稱;關(guān)于z軸對稱.
由于點(x,y,z)關(guān)于xOy平面的對稱點(x,y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于xOy平面對稱;同理,曲面Γ關(guān)于xOz平面對稱;關(guān)于yOz平面對稱.
由以上的討論,可得曲面Γ的直觀圖如右圖所示.
點評:本題給出空間滿足到兩個定點距離之和為定值的點,求該點的軌跡.著重考查了橢圓的定義、軌跡方程求法和曲線與方程的性質(zhì)等知識,屬于中檔題.