Question

如圖過(guò)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C₂．
（1）求證：x₁x₂為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C₁，C₂以及直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，求C₂的方程；
（3）設(shè)，若，求證：λ=μ

Answer 1

解：（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立，得x²-4kx-4m=0，
∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴x₁x₂=-4m．
（2）∵l的方程為x-2y+4=0，∴m=2，
∵點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴P（0，2），Q（0，-2），
聯(lián)立，得A（-2，1），B（4，4），
∵C₁，C₂以及直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，
∴C₁，C₂以及直線(xiàn)l的公共點(diǎn)為A（-2，1），
∵P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C₂，∴設(shè)橢圓為C₂的方程為．
由C₁，C₂以及直線(xiàn)l的公共點(diǎn)為A（-2，1），
知2a==，
∴，
∴橢圓為C₂的方程為．
（3）由，則，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119519.png' />
所以，
，
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
從而，
即，
，
故或（舍去）
故λ=μ．
分析：（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得x²-4kx-4m=0，由此能夠證明x₁x₂=-4m．
（2）由l的方程為x-2y+4=0，知m=2，由點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，知P（0，2），Q（0，-2），聯(lián)立，得A（-2，1），B（4，4），由C₁，C₂以及直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，知C₁，C₂以及直線(xiàn)l的公共點(diǎn)為A（-2，1），由此能求出橢圓為C₂的方程．
（3）由，知，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119519.png' />所以，由此能夠證明λ=μ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查x₁x₂為定值的證明，求橢圓C₂的方程和求證：λ=μ．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．