Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，函數(shù)的極大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意的， 在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的不同取值判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出極值后根據(jù)題意驗(yàn)證后可得實(shí)數(shù)的值．（2）由題意構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，

由于，故在上單調(diào)遞增，可得．所以將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立．（�。┊�(dāng)時(shí)，由于， ，不合題意．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，由題意再分和兩種情況討論可得符合題意，故可得所求范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴

.

①當(dāng)時(shí)， ，

令，得； ，得，

所以在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減．

所以的極大值為，不合題意．

②當(dāng)時(shí)， ，

令，得； ，得或，

所以在上單調(diào)遞增， 和上單調(diào)遞減.

所以的極大值為，解得．符合題意．

綜上可得．

（2）令， ，

當(dāng)時(shí)， ，

則對(duì)恒成立等價(jià)于，

即對(duì)恒成立.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ， ，

此時(shí)，不合題意.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，

則，其中， ，

令，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

①當(dāng)時(shí)，則，

所以對(duì)， ，

從而在上單調(diào)遞增，

所以對(duì)任意， ，

即不等式在上恒成立．

②時(shí)，

由， 及在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得

存在唯一的，使得，且時(shí)， .

從而時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ，

即，不符合題意．

綜上所述．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．