【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設，其中為非零實數(shù)，若有兩個極值點，且，求證：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題分析: （Ⅰ）設切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點處導數(shù)值，切點在切線上也在曲線上列方程組，可解得切點坐標，根據(jù)點斜式寫出切線方程，（Ⅱ）先根據(jù)導數(shù)確定有兩個極值點的條件:，并求出極值點，再研究函數(shù)，此時先將用表示，轉化為證明一元函數(shù)在上最小值大于零，這可以利用導數(shù)易得.

試題解析:解：（Ⅰ）

設切點為，則切線的斜率為

點在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當時，即時，在上單調遞增；

當時，由得，，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，由得，在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，有兩個極值點，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構造函數(shù)，

在上單調遞增，

又，所以在時恒成立，即成立

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)，當x，y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．當x＞0時，f(x)＞0.

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)若f(1)＝，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

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【題目】下列三個集合：

①{x|y＝x2＋1}；

②{y|y＝x2＋1}；

③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義是什么？

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝a－ (a∈R).

(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調性并給出證明；

(2) 若存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求a；

(3)對于(2)中的a，若f(x)≥，當x∈[2,3]時恒成立，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為上的偶函數(shù)，當時， .對于結論

（1）當時， ；（2）函數(shù)的零點個數(shù)可以為4,5,7；

（3）若，關于的方程有5個不同的實根，則；

（4）若函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則實數(shù)的范圍是.

說法正確的序號是__________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，已知曲線在點處的切線與直線垂直.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預測可知，進入21世紀以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2009年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x) 萬件之間的關系如下表所示：

x

1

2

3

4

f(x)

4.00

5.58

7.00

8.44

若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取其中你認為最適合的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；

(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響，2015年的年產(chǎn)量比預計減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2015年的年產(chǎn)量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x＜3－a}

(1)若a＝－2，求B∩A，B∩UA；

(2)若BA，求實數(shù)a取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設，其中為非零實數(shù)，若有兩個極值點，且，求證：.

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