【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.
(1)求證:平面AED⊥平面A1FD1
(2)在AE上求一點M,使得A1M⊥平面ADE.

【答案】
(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz,

不妨設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),E(2,2,1),

F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),

設平面AED的法向量為

=(x1,y1,z1),

=(x1,y1,z1)(2,0,0)=0,

=(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,

∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0.

令y1=1,得 =(0,1,﹣2),

同理可得平面A1FD1的法向量 =(0,2,1).

=0,∴ ,

∴平面AED⊥平面A1FD1


(2)解:由于點M在直線AE上,

=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ).

可得M(2,2λ,λ),∴ =(0,2λ,λ﹣2),

∵AD⊥A1M,∴要使A1M⊥平面ADE,

只需A1M⊥AE,

=(0,2λ,λ﹣2)(0,2,1)=5λ﹣2=0,

解得λ= .故當A= A時,A1M⊥平面ADE


【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz,不妨設正方體的棱長為2,設平面AED的法向量為 =(x1,y1,z1),

利用 =0, =0,得 =(0,1,﹣2),同理可得平面A1FD1的法向量 =(0,2,1).

通過 =0,證明平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于點M在直線AE上,設 =(0,2λ,λ). =(0,2λ,λ﹣2),利用AD⊥A1M, =0,推出5λ﹣2=0,

解得λ= .故當A= A時,A1M⊥平面ADE點M在直線AE上,

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