Question

【題目】如圖，梯形中，，，，沿對(duì)角線(xiàn)將折起，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰在上.

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求異面直線(xiàn)與所成的角；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法證明，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；

（Ⅱ）求出，利用向量夾角公式，可求異面直線(xiàn)BC與AD所成的角；

（Ⅲ）求出平面ACD的法向量，平面ABD的法向量，利用向量夾角公式，可求二面角B﹣AD﹣C的平面角；

（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC2+DC2＝AD2，∴AC⊥DC．

又BO⊥平面ACD，AC平面ACD，∴BO⊥AC，又AB＝CB，∴O為AC中點(diǎn)．

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OA，OB所在直線(xiàn)分別為x，z軸，以過(guò)O且平行于CD的直線(xiàn)為y軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，

∴，，∴，∴AB⊥CD，

又AB⊥BC，BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD；

（Ⅱ）∵，∴，

∴，即異面直線(xiàn)BC與AD所成的角為60°；

（Ⅲ）平面ACD的法向量為．

設(shè)平面ABD的法向量為，則，即，解得，取z＝1，∴．

設(shè)二面角B﹣AD﹣C的平面角為θ，則．