已知橢圓的中心在原點(diǎn)
,焦點(diǎn)在
軸上,離心率為
,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在與橢圓交于
兩點(diǎn)的直線
:
,使得
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)
的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.
(Ⅰ),(Ⅱ)
.
解析試題分析:(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵利用待定系數(shù)法求出a,b. 由及
,解得
,
.所以
.所以橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程是
.(Ⅱ)存在性問題,一般從假設(shè)存在出發(fā),建立等量關(guān)系,有解就存在,否則不存在. 條件
的實(shí)質(zhì)是垂直關(guān)系,即
.所以
.
,
,由
得
.
,
.代入化簡得,
.由
化簡得
.解得,
.
由,
,所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.
(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為
,半焦距為
.
依題意,由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為
,得
.
解得,
.
所以.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
. 4分
(Ⅱ)解:存在直線,使得
成立.理由如下:
由得
.
,化簡得
.
設(shè),則
,
.
若成立,
即,等價(jià)于
.所以
.
,
,
,
化簡得,.
將代入
中,
,
解得,.
又由,
,
從而,
或
.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
. 14分
考點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓位置關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
過拋物線C:上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線,兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形,點(diǎn)M在第一象限.
(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),如果點(diǎn)M在直線AB的上方,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定點(diǎn),過點(diǎn)F且與直線
相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)M,記點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為,與曲線E相交于B,C兩點(diǎn),直線AB,AC分別交直線
于點(diǎn)S,T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個(gè)定點(diǎn)?若是,求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013•浙江)已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1)
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).若直線OA、OB分別交直線l:y=x﹣2于M、N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過M,F(xiàn),O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
長方形中,
,
.以
的中點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1) 求以、
為焦點(diǎn),且過
、
兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過點(diǎn)的直線
交(1)中橢圓于
兩點(diǎn),是否存在直線
,使得以線段
為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓.稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為
的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為
.
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)P作直線,使得
與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷
是否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓E:
的左、右頂點(diǎn)分別為
、
,上、下頂點(diǎn)分別為
、
.設(shè)直線
的傾斜角的正弦值為
,圓
與以線段
為直徑的圓關(guān)于直線
對(duì)稱.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)判斷直線與圓
的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若圓的面積為
,求圓
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓
的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,
.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
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