【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形， 為直角三角形， ，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）作DE的中點F，連接OF，AF，由于O是DB的中點，且OF∥BE，可知∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角；設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則，由于，AB=2AE，

可知， ，則，又，∴= ,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.

試題解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB， 3分

又ABCD為正方形，所以DB⊥AC， 4分

所以DB⊥平面AEC，BD面BED

故有平面AEC⊥平面BED. 6分

（2）作DE的中點F，連接OF，AF，

∵O是DB的中點，

∴OF∥BE，∴∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角。 8分

設(shè)正方形ABCD的邊長為2，

則， 9分

∵，AB=2AE，

∴， ，∴10分

又，∴= ,∴∠FOA==

∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為12分.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(1) 若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2) 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

① 若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點，求實數(shù)m的值；

若函數(shù)f(x)有兩個零點且兩個零點均比－1大，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校90名專職教師的年齡狀況如下表:

年齡

35歲以下

35～50歲

50歲以上

人數(shù)

45

30

15

現(xiàn)擬采用分層抽樣的方法從這90名專職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉(xiāng)支教一年.

（Ⅰ）求從表中三個年齡段中分別抽取的人數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的6個教師中再隨機抽取2名到相對更加邊遠的鄉(xiāng)村支教,計算這兩名教師至少有一個年齡是35～50歲教師的概率。

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為1？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；

（2）若直線的極坐標方程為，求直線被曲線截得的弦長.

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【題目】已知，橢圓的離心率為， 是橢圓的右焦點， 的斜率為， 為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的動直線與交于， 兩點，當面積最大時，求的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5．現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

X

1

2

3

4

5

頻率

a

0．2

0．45

b

c

（1）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為，等級系數(shù)為5的2件日用品記為，現(xiàn)從， 這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線

(1)求φ；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的值域。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列是無窮數(shù)列，且各項均為互不相同的正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列滿足.

（1）若，求的值；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；

（3）在（1）的條件下，求證：數(shù)列中存在無窮多項（按原來的順序）成等比數(shù)列.

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