Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的面積為.

（1）求；

（2）設(shè)點(diǎn)為直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的斜率分別為的兩條弦，如果，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn).

【解析】試題分析：

(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得.

結(jié)合韋達(dá)定理和面積公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)p的方程： ，

解得.

(2)很明顯都不等于零.設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得直線方程為，則直線經(jīng)過定點(diǎn).

試題解析：

（1），則直線的方程為，代入拋物線方程得.

設(shè)，則.

根據(jù)拋物線定義，所以.

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離 .

所以的面積為，解得.

（2）拋物線方程為，直線，即，解得.

設(shè).根據(jù)題意，顯然都不等于零.

直線，即，代入拋物線方程得.

由于點(diǎn)在拋物線上，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，所以. 同理.

而直線的方程為，因?yàn)?/span>也拋物線上，所以代入上述方程并整理得，

，

.

令，則，代入的方程得，

整理得，

若上式對(duì)任意變化的恒成立，則，解得

故直線經(jīng)過定點(diǎn).