【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,傾斜角為
的直線
過點(diǎn)
與拋物線
交于
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的面積為
.
(1)求;
(2)設(shè)點(diǎn)為直線
與拋物線
在第一象限的交點(diǎn),過點(diǎn)
作
的斜率分別為
的兩條弦
,如果
,證明直線
過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1);(2)直線
經(jīng)過定點(diǎn)
.
【解析】試題分析:
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程得
.
結(jié)合韋達(dá)定理和面積公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)p的方程: ,
解得.
(2)很明顯都不等于零.設(shè)直線
,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理可得直線方程為
,則直線
經(jīng)過定點(diǎn)
.
試題解析:
(1),則直線
的方程為
,代入拋物線方程得
.
設(shè),則
.
根據(jù)拋物線定義,所以
.
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線
的距離
.
所以的面積為
,解得
.
(2)拋物線方程為,直線
,即
,解得
.
設(shè).根據(jù)題意,顯然
都不等于零.
直線,即
,代入拋物線方程得
.
由于點(diǎn)在拋物線上,依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得
,所以
. 同理
.
而直線的方程為
,因?yàn)?/span>
也拋物線上,所以
代入上述方程并整理得
,
,
.
令,則
,代入
的方程得
,
整理得,
若上式對(duì)任意變化的恒成立,則
,解得
故直線經(jīng)過定點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
為拋物線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中
,且
(1)求證:線段的垂直平分線恒過定點(diǎn)
,并求出
點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn , 且對(duì)任意的m,n∈N*,
都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n .
(1)求 的值;
(2)求證:{an}為等比數(shù)列;
(3)已知數(shù)列{cn},{dn}滿足|cn|=|dn|=an , p(p≥3)是給定的正整數(shù),數(shù)列{cn},{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp , Rp , 且Tp=Rp , 求證:對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)AP=1,AD= ,三棱錐P﹣ABD的體積V=
,求A到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,M,N分別是BC,AE,CD1的中點(diǎn),AD=AA1=a,AB=2a.求證:MN∥平面ADD1A1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=kx﹣1與雙曲線x2﹣y2=1的左支交于A,B兩點(diǎn).
(1)求斜率k的取值范圍;
(2)若直線l2經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,0)及線段AB的中點(diǎn)Q且l2在y軸上截距為﹣16,求直線l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為
,圓C方程為
.
(1)求橢圓及圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)O作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵樹.乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以X表示.
(注:方差 ,其中
為x1 , x2 , …xn的平均數(shù))
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差;
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.
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