【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在
,使得
成立,則稱
為函數(shù)
的局部對稱點.
(1)若,證明:函數(shù)
必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)在
上有局部對稱點,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
試題分析:(1)利用題中所給的定義,通過二次函數(shù)的判別式大于0,證明二次函數(shù)有局部對稱點;(2)利用方程有解,通過換元,轉(zhuǎn)化為打鉤函數(shù)有解問題,利用函數(shù)的圖象,確定實數(shù)c的取值范圍;(3)利用方程有解,通過換元,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間有解,建立不等式組,通過解不等式組,求得實數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)由得
=
,代入
得,
=
,得到關(guān)于
的方程
=
).
其中,由于
且
,所以
恒成立,
所以函數(shù)=
)必有局部對稱點.
(2)方程=
在區(qū)間
上有解,于是
,
設(shè)),
,
,
其中,所以
.
(3),由于
,
所以=
.
于是=
(*)在
上有解.
令),則
,
所以方程(*)變?yōu)?/span>=
在區(qū)間
內(nèi)有解,
需滿足條件:.
即,,化簡得
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中
為第
題的難度,
為答對該題的人數(shù),
為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試,共5道客觀題,測試前根據(jù)對學生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,結(jié)果如表:
(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),估計中240名學生中第5題的實測答對人數(shù);
(Ⅱ)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生,記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差.設(shè)為第
題的實測難度,請用
和
設(shè)計一個統(tǒng)計量,并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等腰的底邊
,高
,點
是線段
上異于點
的動點,點
在
邊上,且
,現(xiàn)沿
將△
折起到△
的位置,使
,記
,
表示四棱錐
的體積.
(1)求的表達式;(2)當
為何值時,
取得最大,并求最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
>0,
≠1,
≠﹣1),是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)當=1時,判斷函數(shù)
在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若且
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正方形的中心為點
,
邊所在的直線方程為
.
(1)求邊所在的直線方程和正方形
外接圓的方程;
(2)若動圓過點
,且與正方形
外接圓外切,求動圓圓心
的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為,圓心角為
的扇形金屬材料中剪出一個長方形
,并且
與
的平分線
平行,設(shè)
.
(1)試將長方形的面積
表示為
的函數(shù);
(2)若將長方形彎曲,使
和
重合焊接制成圓柱的側(cè)面,當圓柱側(cè)面積最大時,求圓柱的體積(假設(shè)圓柱有上下底面);為了節(jié)省材料,想從△
中直接剪出一個圓面作為圓柱的一個底面,請問是否可行?并說明理由.
(參考公式:圓柱體積公式.其中
是圓柱底面面積,
是圓柱的高;等邊三角形內(nèi)切圓半徑
.其中
是邊長)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】汽車是碳排放量比較大的交通工具,某地規(guī)定,從2017年開始,將對二氧化碳排放量超過130 g/km的輕型汽車進行懲罰性征稅,檢測單位對甲、乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進行二氧化碳排放量檢測,記錄如下(單位:g/km):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | x | 100 | 160 |
經(jīng)測算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為=120 g/km.
(1)求表中x的值,并比較甲、乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性;
(2)從被檢測的5輛甲品牌輕型汽車中任取2輛,則至少有一輛二氧化碳排放量超過130 g/km的概率是多少?
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