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已知函數
(1)設(其中的導函數),求的最大值;
(2)求證: 當時,有
(3)設,當時,不等式恒成立,求的最大值.
(1) 取得最大值;(2);
(3)整數的最大值是.

試題分析:(1)先求,根據導數判斷函數的單調性,再利用單調性求函數的最大值;
(2)當時,有,再根據(1)中有,所以;
(3)將不等式先轉化為,再利用導數求的最小值,因為,結合(1)中的,則,
所以函數上單調遞增.因為,
所以方程上存在唯一實根,且滿足
,即,當,即,
所以函數上單調遞減,在上單調遞增.
所以
所以.故整數的最大值是.  
試題解析:(1), 
所以
時,;當時,
因此,上單調遞增,在上單調遞減.
因此,當時,取得最大值
(2)當時,.由(1)知:當時,,即
因此,有
(3)不等式化為 
所以對任意恒成立.令,
,令,則,
所以函數上單調遞增.因為
所以方程上存在唯一實根,且滿足
,即,當,即,
所以函數上單調遞減,在上單調遞增.
所以
所以.故整數的最大值是.  ,通過放縮法證明不等式;3、恒成立問題,可轉化為成立;4、利用導數求函數零點,解決函數的綜合問題,要求學生有較高的邏輯思維能力與數學素養(yǎng).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數
(1)求的單調區(qū)間;
(2)若,在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題13分)己知函數
(1)試探究函數的零點個數;
(2)若的圖象與軸交于兩點,中點為,設函數的導函數為, 求證:。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數,其中a>0.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若直線是曲線的切線,求實數a的值;
(Ⅲ)設,求在區(qū)間上的最大值(其中e為自然對的底數)。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數上是減函數,求實數a的最小值;
(Ⅲ)若,使)成立,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設函數,.
(1)若曲線在它們的交點處有相同的切線,求實數、的值;
(2)當時,若函數在區(qū)間內恰有兩個零點,求實數的取值范圍;
(3)當,時,求函數在區(qū)間上的最小值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設數列的前項和為,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)求證:當x>0時,
(Ⅲ)令,數列的前項和為.利用(2)的結論證明:當n∈N*且n≥2時,.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數.
(Ⅰ)討論函數的單調性;
(Ⅱ)設,證明:對任意,總存在,使得.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

若存在x使不等式>成立,則實數m的取值范圍為(      )
A.B.C.D.

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