Question

質(zhì)量均為m=0.1kg的兩個小物體A和B，靜止放在足夠長的水平面上，相距L=12.5m．它們跟水平面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2，其中A帶電荷量為q=3×10^-4C的正電荷，與水平面的接觸是絕緣的，B不帶電．現(xiàn)在水平面附近空間加一水平向右的勻強電場，場強E=10³ N/C，A便開始向右運動，并與B發(fā)生多次對心碰撞，碰撞過程時間極短，碰撞過程中無機械能損失，A帶電量不變，B始終不帶電，重力加速度g取10m/s²．

求：
（1）A與B第1次碰撞后B的速度大小；
（2）A與B從第2次碰撞到第3次碰撞過程中B運動的位移；
（3）整個運動過程中A、B同水平面摩擦產(chǎn)生熱量的總和．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式，可求出A與B第1次碰撞后B的速度大小；
（2）由牛頓第二定律可求出物體B的加速度，加之每次碰撞后兩物體交換速度，從而根據(jù)運動學(xué)公式可求出第2次碰撞到第3次碰撞過程中B運動的位移；
（3）根據(jù)第2問可列出每次碰撞時速度大小，結(jié)合位移與時間關(guān)系從而求出，碰撞N次的總位移，再由電場力做功，求得小物體A運動過程中A、B同水平面摩擦產(chǎn)生熱量的總和．

解答：解：（1）對A，根據(jù)牛頓第二定律 Eq-μmg=ma_A，
解得加速度 a_A=1m/s²
根據(jù)公式

v

2 A1

=2a_AL，解得A與B碰前速度 v_A1=5m/s
碰撞交換速度，第1次碰后，A的速度為0，B的速度 v_B1=v_A1=5m/s．
（2）對B，根據(jù)牛頓第二定律 μmg=ma_B，解得加速度大小a_B=2m/s²，
每次碰后B作勻減速運動，因其加速度大于A的加速度，所以B先停，之后A追上再碰，每次碰后A的速度均為0，然后加速再與B發(fā)生下次碰撞．
第1次碰撞：x_B1為第1次碰后B的位移，則 

v

2 B1

=

v

2 A1

=2a_Bx_B1，
解得，碰后B運動的位移為x_B1=6.25m
第2次碰撞：碰撞前A的速度為v_A2，則

v

2 A2

=2a_Ax_B1，
由上兩式得
 

v 2 A2

v 2 A1

=

aA

aB

=

1

2

得：

xA2

L

=

xB1

L

=

v 2 A2

v 2 A1

=

aA

aB

=

1

2

以此類推，第2次碰撞后B運動的位移
x_B2=（

aA

aB

）²L=3.125m．
（3）根據(jù)第（2）問的分析，經(jīng)過n次碰撞后B的速度 v_Bn=

vA1

( 2 )n-1

從第1次碰撞到第n次碰撞后B通過的總路程
x=

v 2 B1

2aB

+

v 2 B2

2aB

+…+

v 2 Bn

2aB

=

v 2 A1

2aB

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）
所以 x=

2aAL

2aB

?=12.5（1-

1

2n

）m
當n→∞時，即得B通過的總路程 x=12.5m
故Q=μmg（L+x）+μmgx=5J+2.5J=7.5J．
答：
（1）A與B第1次碰撞后B的速度大小是5m/s；
（2）A與B從第2次碰撞到第3次碰撞過程中B運動的位移是3.125m；
（3）整個運動過程中A、B同水平面摩擦產(chǎn)生熱量的總和是7.5J．

點評：本題主要考查了牛頓第二定律、運動學(xué)公式，并根據(jù)碰撞速度互換，從而得到運動間聯(lián)系．同時注意運用數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)規(guī)律，進行求解．