Question

（2013?貴州模擬）在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．有兩個相同的帶正電的粒子從A點垂直于磁場方向進入磁場中，進入磁場時的速度v₁和v₂大小未知、方向與AO的夾角均為α，如圖所示．已知兩粒子的質(zhì)量為m、電量為q，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑也是R，不計粒子的重力和它們之間的相互作用．求：
（1）兩粒子的運動速度v₁和v₂的大��；
（2）兩粒子在磁場中運動的時間之差：
（3）兩粒子離開磁場的位置之間的距離．

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據(jù)幾何關系，結(jié)合運動的周期公式，即可求解；
（3）由幾何知識，即可求解．

解答：解：（1）兩粒子在磁場中圓周運動的半徑都是R，所以速度大小相同，設為v，
則有：qvB=m

v2

R

所以，v₁=v₂=v=

qBR

m

；
（2）設以v₁運動的粒子從圓上的M點離開磁場區(qū)域，軌道的圓心為O₁，
由題意可知，O₁A=O₁M=OA=OM，即OAO₁M是菱形，所以O₁M∥OA，
設軌跡圓心角分別為α₁，則∠OAO₁=90°+α；
α₁=180°-∠OAO₁=90°-α
同理，設以v₂運動的粒子從圓上的N點離開磁場區(qū)域，軌跡的圓心角為α₂，則∠OAO₂=90°-α；
α₂=180°-∠OAO₂=90°+α
兩軌跡圓的圓心角的差值為△α=α₂-α₁；
即△α=2α
設粒子在磁場中圓周運動的周期為T，則有：T=

2πm

qB

；
兩粒子在磁場中運動的時間差為△t=

△α

2π

T=

2αm

qB

（3）由上分析可知，α₁=∠OAO₂，說明兩菱形除邊長相等外，頂角也相等，兩菱形全等．
O₂N、O₁M到OA的距離相等，即O₂N、O₁M在同一直線上，在三角形MON中，∠MON=α₂-α₁=2α，
所以，MN=2Rsinα．
答：（1）兩粒子的運動速度v₁和v₂的大小v₁=v₂=v=

qBR

m

；
（2）兩粒子在磁場中運動的時間之差

2αm

qB

：
（3）兩粒子離開磁場的位置之間的距離2Rsinα．

點評：考查粒子在磁場中做勻速圓周運動，掌握洛倫茲力提供向心力，理解牛頓第二定律的應用．注意巧用幾何知識建立關系．