Question

（2011?信陽二模）如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道．通過動摩擦因數(shù)為μ的CD段，若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零，且CD段的動摩擦因數(shù)為μ，試求水平CD段的長度．

Answer 1

分析：小球在兩圓軌道的最高點對軌道的壓力恰好為零，都由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過圓形軌道最高點時的速率．當小球從C到達甲圓形軌道的最高點的過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律求解小球經過C點時的速率．根據動能定理求解CD的長度．

解答：解：設小球通過C點時的速度為v_C，通過甲軌道最高點的速度為v₁，根據小球對軌道壓力為零，則有
     mg=m

v12

R

解得    v₁=

gR

取軌道最低點所在水平面為參考平面，由機械能守恒定律有

1

2

mv_C²=mg?2R+

1

2

mv₁²
解得    v_C=

5gR

同理可得小球通過D點時的速度v_D=

5gr

設CD段的長度為l，對小球通過CD段的過程，由動能定理得
-μmgl=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_C²
解得：l=

5(R-r)

2μ

答：水平CD段的長度為

5(R-r)

2μ

．

點評：本題是向心力、機械能守恒定律、動能定理的綜合應用．在豎直平面內，小球沿光滑圓軌道的運動模型與輕繩拴的球的運動模型相似．