Question

如圖，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑為r的細(xì)圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧，輕彈簧下端固定，上端恰好與管口D端齊平．質(zhì)量為m的小球在曲面上距BC的高度為2r處從靜止開(kāi)始下滑，進(jìn)入管口C端時(shí)與管壁間恰好無(wú)作用力，通過(guò)CD后壓縮彈簧，在壓縮彈簧過(guò)程中速度最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_P，已知小球與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．求：
（1）小球達(dá)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（2）水平面BC的長(zhǎng)度s；
（3）在壓縮彈簧過(guò)程中小球的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）A到B的過(guò)程中只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出水平面BC的長(zhǎng)度．
（3）當(dāng)小球重力和彈簧彈力相等時(shí)，小球的速度最大，根據(jù)功能關(guān)系求出小球的最大速度．

解答：解：（1）由機(jī)械能守恒得：mg?2r=

1

2

mv_B²
解得：v_B=2

gr

（2）在C點(diǎn)對(duì)管壁無(wú)壓力，根據(jù)牛頓第二定律有：
mg=m

vc2

r

解得得：v_C=

gr

對(duì)A到C段運(yùn)用動(dòng)能定理得：mg?2r-μmgs=

1

2

mv_C²
解得：s=3r
（3）設(shè)在壓縮彈簧過(guò)程中小球速度最大時(shí)離D端的距離為x，
則有：kx=mg
解得：x=

mg

k

由功能關(guān)系得：mg（r+x）-E_P=

1

2

mv_m²-

1

2

mv_C²
得：v_m=

3gr+ 2mg2 k - 2Ep m

．
答：（1）小球達(dá)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為2

gr

（2）水平面BC的長(zhǎng)度為3r．
（3）在壓縮彈簧過(guò)程中小球的最大速度為

3gr+ 2mg2 k - 2Ep m

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系以及牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，是高考的熱點(diǎn)題型，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．