Question

在水平直軌道上有兩列火車(chē)A和B相距s，A車(chē)在后面做初速為v₀、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車(chē)同時(shí)做初速度為零、加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相同.要使兩車(chē)不相撞，求A車(chē)的初速度v₀應(yīng)滿足什么條件.

圖2

Answer 1

解析：要使兩車(chē)不相撞，A車(chē)追上B車(chē)時(shí)其速度最多只能與B車(chē)速度相等.設(shè)A、B兩車(chē)從相距s到A車(chē)追上B車(chē)時(shí)，A車(chē)的位移為s_A，末速度為v_A，所用時(shí)間為t；B車(chē)的位移為s_B，末速度為v_B，運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖2所示，現(xiàn)用四種方法解答如下：

解法一：利用位移公式、速度公式求解.

對(duì)A車(chē)有

對(duì)B車(chē)有

兩車(chē)有s=s_A-s_B

追上時(shí)，兩車(chē)剛好不相撞的臨界條件是v_A=v_B

以上各式聯(lián)立解得

故要使兩車(chē)不相撞，A的初速度v₀應(yīng)滿足的條件是：

解法二：利用判別式求解，由解法一可知

整理得3at²-2v₀t+2s=0

這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式Δ=（2v₀）²-4×3a×2s＜0時(shí)，t無(wú)實(shí)數(shù)解，即兩車(chē)不相撞.所以要使兩車(chē)不相撞，A車(chē)的初速度v₀應(yīng)滿足的條件是

解法三：利用速度—時(shí)間圖象求解，先作A、B兩車(chē)的速度—時(shí)間圖象，其圖象如圖3所示，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間兩車(chē)剛好不相撞，則對(duì)A車(chē)有

圖3

v_A=v=v₀-2at

對(duì)B車(chē)有

v_B=v=at

以上兩式聯(lián)立解得

經(jīng)t時(shí)間兩車(chē)發(fā)生的位移之差，即為原來(lái)兩車(chē)間的距離s，它可用圖中陰影面積表示，由圖象可知

所以要使兩車(chē)不相撞，A車(chē)初速度v₀應(yīng)滿足的條件是：

解法四：巧選參考系求解

以B車(chē)為參考系，A車(chē)的初速度為v₀，加速度a′=-2a-a=-3a.A車(chē)追上且剛好不相撞的條件是：v_t=0，這一過(guò)程A車(chē)相對(duì)B車(chē)的位移為s.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v_t²-v₀²=2as得，

0²-v₀²=2×（-3a）×s,所以

即要使兩車(chē)不相撞，A車(chē)應(yīng)滿足的條件是：

答案：