Question

近幾年來(lái)，人們對(duì)火星表現(xiàn)出空前熱情，2003年一年之間先后有四顆探測(cè)器朝著火星絕塵而去．如圖所示，假設(shè)地球的質(zhì)量為M，某探測(cè)器的質(zhì)量為m，地球的半徑為R₀，地球表面附近的重力加速度g，已知重力勢(shì)能Ep=-G

Mm

r

，其中r為探測(cè)器到地球球心的距離．若不考慮地球、火星的自轉(zhuǎn)和一切空氣阻力的影響．
（1）試證明：從地面將該探測(cè)器發(fā)射至半徑為r的運(yùn)行軌道，發(fā)射速度v=

gR0(2- R0 r )

．
（2）取R₀=6.4×10⁶m，地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s²，試以上式求出發(fā)射速度的最小值和最大值．
（3）假設(shè)該探測(cè)器在火星上軟著陸時(shí)第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時(shí)速度為v₂．求火星表面的重力加速度g_火．

Answer 1

分析：（1）地球?qū)μ綔y(cè)器的萬(wàn)有引力作其在運(yùn)動(dòng)軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即：G

Mm

r 2

=m

v 運(yùn) 2

r

，
又地球表面的重力等于萬(wàn)有引力G

Mm

R 0  2

=mg，
探測(cè)器發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為E₁=

1

2

mv 2-G

Mm

R 0

，
進(jìn)入運(yùn)行軌道后具有的機(jī)械能為E₂=

1

2

mv 運(yùn) 2-G

Mm

r

，
由能量守恒定律，探測(cè)器在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能不變，即：E₁=E₂
聯(lián)立以上各式可以解得發(fā)射速度．
（2）當(dāng)探測(cè)器貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，r=R₀，此時(shí)所需發(fā)射速度最小，為v_min=

gR0

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
即當(dāng)探測(cè)器擺脫地球的吸引時(shí)，所需發(fā)射速度最大，為v_max=

2gR0

，即為第二宇宙速度，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
（3）第二次著陸，由機(jī)械能守恒有：mg 火h+

1

2

mv

2  1

=

1

2

mv

2  2

，化簡(jiǎn)可得火星表面的重力加速度．

解答：解：（1）設(shè)探測(cè)器在運(yùn)行軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v_運(yùn)，
地球?qū)μ綔y(cè)器的萬(wàn)有引力提供其在運(yùn)動(dòng)軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
即：G

Mm

r 2

=m

v 運(yùn) 2

r

--------①
又G

Mm

R 0  2

=mg----------②
探測(cè)器發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為E₁=

1

2

mv 2-G

Mm

R 0

------③
進(jìn)入運(yùn)行軌道后具有的機(jī)械能為E₂=

1

2

mv 運(yùn) 2-G

Mm

r

----④
由能量守恒定律，探測(cè)器在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能不變，即：E₁=E₂----⑤
①②③④⑤聯(lián)立解得：v=

gR0(2- R0 r )

----------⑥
（2）如果r=R₀，即當(dāng)探測(cè)器貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需發(fā)射速度最小，
為v_min=

gR0

=7.9×10³m/s．（此為第一宇宙速度）--------⑦
如果r→∞，即當(dāng)探測(cè)器擺脫地球的吸引時(shí)，所需發(fā)射速度最大，
為v_max=

2gR0

=11.2×10³m/s．（此為第二宇宙速度）-------⑧
（3）探測(cè)器從高度為h到第二次著陸，由機(jī)械能守恒有：mg 火h+

1

2

mv

2  1

=

1

2

mv

2  2

------⑨
得出火星表面的重力加速度為：g 火=

v  2 2-v  1 2

2h

------⑩
答：（1）證明如上．
（2）發(fā)射速度的最小值為7.9×10³m/s，最大值為11.2×10³m/s．
（3）火星表面的重力加速度g 火=

v  2 2-v  1 2

2h

．

點(diǎn)評(píng)：本題把天體運(yùn)動(dòng)和能量守恒結(jié)合了起來(lái)，要掌握地球?qū)μ綔y(cè)器的萬(wàn)有引力提供探測(cè)器在運(yùn)動(dòng)軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力G

Mm

r 2

=m

v 運(yùn) 2

r

，地球表面的重力等于萬(wàn)有引力G

Mm

R 0  2

=mg．此題綜合能力要求較高，有一定的難度，屬于難題．