Question

（2008?廣州模擬）如圖所示的軌道由位于豎直平面的圓弧軌道和水平軌道兩部分相連而成．水平軌道的右側(cè)有一質(zhì)量為2m的滑塊C與輕質(zhì)彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定在豎直的墻M上，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，滑塊C在P點(diǎn)處；在水平軌道上方O處，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球B，B球恰好與水平軌道相切于D點(diǎn)，并可繞D點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)．質(zhì)量為m的滑塊A由圓弧軌道上靜止釋放，進(jìn)入水平軌道與小球B發(fā)生碰撞，A、B碰撞前后速度發(fā)生交換．P點(diǎn)左方的軌道光滑、右方粗糙，滑塊A、C與PM段的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=

1

3

，其余各處的摩擦不計(jì)，A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g．
（1）若滑塊A能以與球B碰前瞬間相同的速度與滑塊C相碰，A至少要從距水平軌道多高的地方開始釋放？
（2）在（1）中算出的最小值高度處由靜止釋放A，經(jīng)一段時(shí)間A與C相碰，設(shè)碰撞時(shí)間極短，碰后一起壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為

1

3

L，求彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）要使滑塊A能以與B碰前瞬間相同的速度與C碰撞，必須使小球B受A撞擊后在豎直平面內(nèi)完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)后從左方撞擊A，使A繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式即可求解；
（2）先求出從這個(gè)高度下滑的A與C碰撞前瞬間速度，在根據(jù)動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律列式即可求解．

解答：解：（1）要使滑塊A能以與B碰前瞬間相同的速度與C碰撞，必須使小球B受A撞擊后在豎直平面內(nèi)完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)后從左方撞擊A，使A繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．
設(shè)A從距水平面高為H的地方釋放，與B碰前的速度為v₀
對(duì)A，由機(jī)械能守恒得：mgH=

1

2

m

v

2 0

①
向心力    F=m

v2

L

設(shè)小球B通過(guò)最高點(diǎn)的速度為v_B，則它通過(guò)最高點(diǎn)的條件是：mg≤m

v 2 B

L

②
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 0

=2mgL+

1

2

m

v

2 B

③
聯(lián)立①、②、③得：H≥

5

2

L     ④
（2）從這個(gè)高度下滑的A與C碰撞前瞬間速度v0=

5gL

⑤
設(shè)A與C碰后瞬間的共同速度為v，由動(dòng)量守恒：mv₀=（m+2m）v    ⑥
A、C一起壓縮彈簧，由能量守恒定律．有：

1

2

(m+2m)v2=EP+(μmg+μ?2mg)?

1

3

L⑦
由⑤、⑥、⑦式得：EP=

1

2

mgL=0.5mgL
答：（1）若滑塊A能以與球B碰前瞬間相同的速度與滑塊C相碰，A至少要從距水平軌道

5

2

L 高的地方開始釋放；
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能為0.5mgL．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、向心力公式、動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律的直接應(yīng)用，難度適中．