Question

【題目】圖a所示是某型號(hào)蛙式打夯機(jī)的實(shí)物圖，其中A是夯頭，B是支架。在支架的上方有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸O，轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)金屬塊C固連在一起，轉(zhuǎn)軸O通過(guò)動(dòng)力裝置（電動(dòng)機(jī)及皮帶、皮帶輪等）的作用帶動(dòng)C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。打夯機(jī)工作過(guò)程中周期性地將夯頭（連同支架）抬高到一定高度然后落下，把地面夯實(shí)。我們把實(shí)物圖的右邊部分簡(jiǎn)化為如圖b所示的物理模型：底座A與支架固連在一起，支架的上方有一轉(zhuǎn)軸O，軸上固定著一根硬桿，桿的另一端固定一個(gè)重球C，C的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r。為了簡(jiǎn)化，設(shè)A的質(zhì)量（包括支架）為M, C的質(zhì)量為m, 其余各部件的質(zhì)量都忽略不計(jì)。已知重球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與豎直方向的夾角為θ時(shí)，夯頭A開(kāi)始離開(kāi)地面。

（1）求夯頭A離地時(shí)刻重球C的速率。

（2）忽略打夯機(jī)其他部分的牽連和影響，僅以圖b所示的模型計(jì)算，從離地時(shí)刻算起，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，A、C組成的系統(tǒng)的質(zhì)心上升到最高點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)夯頭A離地時(shí)刻重球C的速率為v，如圖所示。把球的重力正交分解為沿半徑方向及沿切線方向的兩個(gè)分力，其中

F1=mgcosθ ①

C所需的向心力由F1及桿的拉力T共同提供，即

②

此時(shí)夯頭及支架對(duì)地面的壓力剛好減為零，即滿足

Tcosθ=Mg ③

解①②③三式，得 ④

（2）A離地后，圖2所示的模型所組成的系統(tǒng)豎直方向只受重力作用，設(shè)到達(dá)最高點(diǎn)所用的時(shí)間為t，應(yīng)用動(dòng)量定理，

（ M+m）gt=mv sinθ ⑤

解④⑤兩式，得